Какие из следующих утверждений являются верными?

1. Центр окружности, описанной около правильного треугольника, находится в точке пересечения высот.
2. В любой четырёхугольник можно вписать не более одной окружности.
3. Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр окружности, описанной около него, равен 5.

Геометрия 7 класс Окружности и многогранники верные утверждения центр окружности правильный треугольник четырёхугольник вписанная окружность прямоугольник диаметр окружности Новый

Давайте проанализируем каждое из предложенных утверждений по отдельности.

1. Центр окружности, описанной около правильного треугольника, находится в точке пересечения высот.

Это утверждение неверно. Центр окружности, описанной около правильного треугольника, совпадает с центром масс (или центром симметрии) треугольника, который также совпадает с точкой пересечения медиан. Точка пересечения высот называется ортоцентром, и в случае правильного треугольника ортоцентр и центроид совпадают, но это не является общим правилом для всех треугольников.

2. В любой четырёхугольник можно вписать не более одной окружности.

Это утверждение верно. Вписанная окружность существует в любом четырёхугольнике, если сумма длины противоположных сторон равна. Однако, если это условие не выполняется, то окружность вписать нельзя. Если же это условие выполняется, то окружность будет единственной, так как для заданного четырёхугольника можно провести только одну окружность, которая касается всех его сторон.

3. Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр окружности, описанной около него, равен 5.

Это утверждение верно. Для прямоугольника, описанная окружность проходит через все его вершины, и её радиус равен половине длины диагонали. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

• Длина диагонали = корень из (3^2 + 4^2) = корень из (9 + 16) = корень из 25 = 5.

Таким образом, радиус окружности равен 5/2, а диаметр равен 5.

В заключение:

• Первое утверждение - неверно.
• Второе утверждение - верно.
• Третье утверждение - верно.