Какова суть теоремы о пересекающихся хордах окружности и какие свойства она описывает?

Геометрия 7 класс Теорема о пересекающихся хордах окружности теорема о пересекающихся хордах свойства хорды окружности геометрия 7 класс окружность и хорды пересекающиеся хорды свойства Новый

Теорема о пересекающихся хордах окружности является важным результатом в геометрии, особенно в изучении свойств окружностей. Давайте разберем, в чем заключается суть этой теоремы и какие свойства она описывает.

Суть теоремы:

Теорема о пересекающихся хордах утверждает, что если две хорды окружности пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Обозначим пересекающиеся хорды как AB и CD, которые пересекаются в точке O. Тогда, если AO и OB - отрезки первой хорды, а CO и OD - отрезки второй хорды, то выполняется следующее равенство:

AO * OB = CO * OD

Доказательство теоремы:

1. Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R.
2. Проведем хорды AB и CD, которые пересекаются в точке P.
3. Обозначим отрезки: AO = a, OB = b, CO = c, OD = d.
4. Тогда мы можем записать: AO * OB = a * b и CO * OD = c * d.
5. Используя свойства подобия треугольников, которые возникают при пересечении хорды, мы можем установить равенство a * b = c * d.

Свойства, описываемые теоремой:

• Произведение отрезков хорды, которые пересекаются, всегда будет одинаковым, что позволяет использовать эту теорему для нахождения неизвестных отрезков.
• Теорема полезна в задачах, связанных с нахождением длин отрезков, а также в задачах на построение.
• С помощью теоремы можно решать задачи, связанные с окружностями, например, находить длину отрезка, если известны другие отрезки, или проверять, являются ли точки на окружности коллинеарными.

Таким образом, теорема о пересекающихся хордах окружности является важным инструментом в геометрии, который помогает изучать и решать различные задачи, связанные с окружностями и их свойствами.