Какой центральный угол AOB, который опирается на хорду AB, если длина этой хорды равна радиусу? Пожалуйста, решите задачу.

Геометрия 7 класс Центральные углы и их свойства центральный угол AOB хорда AB длина хорды радиус геометрия 7 класс задача по геометрии решение задачи Новый

Чтобы решить задачу, давайте разберемся, что такое центральный угол и как он связан с хордами в круге.

Центральный угол AOB - это угол, вершина которого находится в центре круга (точка O), а стороны угла пересекают окружность в точках A и B.

Согласно теореме о центральном угле и опирающемся на него угле, мы знаем, что:

• Длина хорды AB равна радиусу круга.
• Это означает, что треугольник AOB, образованный радиусами OA и OB и хордой AB, является равнобедренным.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOB подробнее:

1. Пусть радиус круга равен R.
2. Так как AB - хорда, и ее длина также равна R, мы можем сказать, что AB = R.
3. Теперь, в равнобедренном треугольнике AOB, углы OAB и OBA равны.
4. Обозначим угол AOB как α. Тогда:
5. Углы OAB и OBA будут равны (по свойству равнобедренного треугольника) и обозначим их как β.
6. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то есть:
7. α + 2β = 180°.
8. Теперь, используя теорему косинусов для треугольника AOB, мы можем записать:
9. AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(α).
10. Подставим значения: R² = R² + R² - 2 * R * R * cos(α).
11. Упростим: R² = 2R²(1 - cos(α)).
12. Разделим обе стороны на R² (при R ≠ 0): 1 = 2(1 - cos(α)).
13. Отсюда получаем: 1 = 2 - 2cos(α), что приводит к 2cos(α) = 1.
14. Таким образом, cos(α) = 1/2.
15. Это соответствует углу α = 60° (или 120°, но в данном случае мы рассматриваем центральный угол, который меньше 180°).

Таким образом, центральный угол AOB, который опирается на хорду AB, равен 60°.