Рассмотрим данные точки: A(−4; 4), B(2; 8), C(6; 2). Докажем по шагам, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.

1. Вычислим векторы сторон и квадраты их длин (чтобы не извлекать корни).

   • Вектор AB = B − A = (2 − (−4), 8 − 4) = (6, 4). Значит AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52.
   • Вектор BC = C − B = (6 − 2, 2 − 8) = (4, −6). Значит BC^2 = 4^2 + (−6)^2 = 16 + 36 = 52.
   • Вектор AC = C − A = (6 − (−4), 2 − 4) = (10, −2). Значит AC^2 = 10^2 + (−2)^2 = 100 + 4 = 104.

2. Вывод о равнобедренности.

   Поскольку AB^2 = 52 и BC^2 = 52, то AB = BC. Значит треугольник ABC равнобедренный (равные боковые стороны AB и BC), основание — AC.

3. Проверим прямой угол (угол при вершине B).

   • Можно проверить скалярное произведение векторов AB и BC: AB • BC = (6, 4) • (4, −6) = 6·4 + 4·(−6) = 24 − 24 = 0. Скалярное произведение равно нулю ⇨ векторы перпендикулярны.
   • Альтернативно, можно найти угловые коэффициенты (наклоны): k_AB = (8−4)/(2−(−4)) = 4/6 = 2/3, k_BC = (2−8)/(6−2) = −6/4 = −3/2, и k_AB·k_BC = (2/3)·(−3/2) = −1, значит прямые перпендикулярны.

   Следовательно, угол ABC = 90° — треугольник прямоугольный, причём прямой угол расположен в вершине B.

4. Ещё одна проверка (теорема Пифагора). AB^2 + BC^2 = 52 + 52 = 104 = AC^2, что также подтверждает, что треугольник прямоугольный с гипотенузой AC.

Итог: Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC) и прямоугольный (угол при B = 90°).