Чтобы понять, как изменится площадь поверхности правильной треугольной призмы при увеличении всех её рёбер в три раза, давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Площадь поверхности правильной треугольной призмы состоит из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней. Если обозначить площадь одного треугольного основания как S, то площадь боковых граней можно выразить через высоту призмы и периметр основания.

Когда мы увеличиваем все рёбра призмы в три раза, это значит, что:

• Стороны треугольного основания увеличиваются в три раза.
• Высота призмы также увеличивается в три раза.

Площадь треугольника пропорциональна квадрату его стороны. Если стороны треугольника увеличиваются в три раза, то площадь одного треугольного основания увеличится в:

3^2 = 9 раз.

Площадь боковых граней также зависит от высоты призмы. Если высота увеличивается в три раза, то площадь боковых граней увеличивается в:

3 раз.

Теперь давайте подытожим:

• Площадь двух треугольных оснований: 2 * S * 9 = 18S.
• Площадь боковых граней увеличивается в 3 раза, если обозначить её начальную площадь как B, то она станет 3B.

Итак, общая площадь поверхности призмы после увеличения будет:

18S + 3B.

Изначально площадь поверхности призмы равнялась 6. После увеличения размеров:

Площадь основания увеличилась в 9 раз, а площадь боковых граней увеличилась в 3 раза, значит, новая площадь поверхности будет:

Площадь = 9 * 6 = 54.

Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной призмы увеличится до 54.