Решение:

1. Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. О.

2. BC — основание трапеции.

3. AD — основание трапеции.

4. ∠A = 90°.

5. DE = 16 см.

6. AE = AM = BM = BK = KO = MO = EO = r = 12 см.

7. AD = AE + DE.

8. AD = 12 + 16 = 28 (см).

9. В прямоугольном треугольнике ODE:

• катет OE = 12 см;
• катет DE = 16 см;
• OD — гипотенуза.

10. По теореме Пифагора:

OD² = OE² + DE².

11. OD² = 12² + 16² = 400.

12. OD = √400 = 20 (см).

13. Свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

14. ED = FD = 16 см и CK = CF как отрезки касательных, OD — биссектриса ∠ADC, OC — биссектриса ∠BCD.

15. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

16. ∠BCD + ∠ADC = 180° ⇒ ∠DCO + ∠CDO = 180 / 2 = 90 (°)

17. Сумма углов треугольника равна 180°.

18. ∠COD = 180 - (∠DCO + ∠CDO ) = 180 - 90 = 90(°).

19. В прямоугольном треугольнике COD:

• ∠OCD = 180 - 90 - ∠CDO ⇒ ∠OCD = 90 - ∠CDO.

20. В прямоугольном треугольнике OFC:

• ∠OCF = 180 - 90 - ∠COF = 90 - ∠COF ⇒ ∠CDO = ∠COF.

21. В прямоугольном треугольнике DFO:

• ∠DOF = 180 - 90 - ∠CDO = 90 - ∠CDO = ∠OCD.

22. Треугольники DFO и OFC подобны по трём углам.

23. ∠DFO = ∠OFC = 90°, т. к. радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

24. ∠CDO = ∠COF.

25. ∠DOF = ∠OCD.

26. У подобных треугольников углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

27. DO : OC = DF : OF = OF : CF.

28. 20 : OC = 16 : 12 = 12 : CF.

29. 16 : 12 = 12 : CF.

30. Свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

31. 16CF = 12 * 12.

32. 16CF = 144.

33. CF = 144 / 16.

34. CF = 9 (см), тогда CK = 9 см.

35. BC = BK + CK.

36. BC = 12 + 9 = 21 (см).

37. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, её площадь равна произведению оснований.

38. S = AD * BC.

39. S = 28 * 12 = 336 (см²).

Ответ: площадь трапеции равна 336 см².

**