Давайте сначала сформулируем теоремы о средних линиях треугольника и трапеции.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Эта линия параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Эта линия параллельна основаниям и равна полусумме длин оснований.

Теперь давайте докажем теорему о средней линии треугольника.

1. Рассмотрим треугольник ABC, где D и E — середины сторон AB и AC соответственно.
2. По определению, D и E — это точки, которые делят отрезки AB и AC пополам, то есть AD = DB и AE = EC.
3. Теперь мы проведем отрезок DE, который соединяет точки D и E.
4. По свойству средней линии, мы можем использовать теорему о подобии треугольников. Треугольники ADE и ABC являются подобными, так как угол A общий, а углы D и B равны (поскольку DE параллельно BC).
5. Из подобия треугольников следует, что отношение сторон треугольника ADE к треугольнику ABC равно 1:2. Это значит, что DE = 1/2 * BC.
6. Таким образом, мы доказали, что средняя линия DE равна половине длины стороны BC и параллельна ей.

Таким образом, теорема о средней линии треугольника доказана. Мы увидели, что средняя линия не только параллельна третьей стороне, но и равна половине ее длины.