Углы ABC и CBD — смежные, луч BM — биссектриса угла ABC, угол ABM в 3 раза больше угла CBD. Найдите углы ABC и CBD.

Геометрия 7 класс Смежные углы.

Задача: углы ABC и CBD — смежные, луч BM — биссектриса угла ABC, угол ABM в 3 раза больше угла CBD. Найдите углы ABC и CBD.

Решение:

1. Пусть $∠CBD = x°$, тогда по условию задачи $∠ABM = 3x°$.
2. Так как углы ABC и CBD смежные, то их сумма равна $180°$:
$∠ABC + ∠CBD = 180°$.
3. Поскольку луч BM является биссектрисой угла ABC, то $∠ABM$ равен половине $∠ABC$. Значит, можно записать следующее равенство:
$∠ABC = 2 ∠ABM$.
4. Подставим известные значения углов в уравнение из пункта 2:
$(2 ∠ABM) + x = 180°$,
где $x = ∠CBD$.
5. Из уравнения следует, что
$2 (3x°) + x° = 180°$, откуда $x° = 36°$.
6. Найдём значение угла $ABC$ двумя способами:
а) $∠ABC + ∠CBD = 180°$, значит, $∠ABC = 180° - ∠CBD$, следовательно,
$∠ABC = 180° - 36° = 144°$;
б) так как $BM$ — биссектриса, то она делит $∠ABC$ пополам, поэтому
$∠ABM = \frac{1}{2} ∠ABC$, а по условию $∠ABM = 3 ∠CBD$ или $3x°$, то есть
$\frac{1}{2} ∠ABC = 3x°$ или
$∠ABC = 72°$. Поскольку $BM$ — биссектриса, она делит угол пополам, значит,
$∠ABM = 2∠ABC$, отсюда
$∠ABC = 2 72° = 144°$.

Ответ: $∠ABC = 144°$, $∠CBD = 36°$.