В правильном тетраэдре SABC, где длина ребра равна 5, как можно найти косинус угла между плоскостями (SCB) и (ABC)?

Геометрия 7 класс Углы между плоскостями правильный тетраэдр длина ребра косинус угла плоскости SCB плоскости ABC геометрия 7 класс Новый

Чтобы найти косинус угла между плоскостями (SCB) и (ABC) в правильном тетраэдре SABC, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин тетраэдра:

• Пусть вершина A находится в точке (0, 0, 0).
• Вершина B будет в (5, 0, 0).
• Вершина C расположена в (2.5, 2.5√3, 0) - это основание равностороннего треугольника ABC.
• Вершина S будет в (2.5, (2.5√3)/3, (5√2)/3) - это высота, проведенная из точки S к основанию ABC.

2. Найдем нормали к плоскостям:

Для нахождения косинуса угла между плоскостями, сначала нужно определить нормали к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости ABC:

• Векторы AB = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0)
• Векторы AC = (2.5, 2.5√3, 0) - (0, 0, 0) = (2.5, 2.5√3, 0)
• Теперь находим векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормаль:

n1 = AB x AC = (5, 0, 0) x (2.5, 2.5√3, 0) = (0, 0, 5 * 2.5√3) = (0, 0, 12.5√3).

Нормаль к плоскости SCB:

• Векторы SC = (2.5, 2.5√3, 0) - (2.5, (2.5√3)/3, (5√2)/3) = (0, 2.5√3 - (2.5√3)/3, -(5√2)/3)
• Векторы SB = (5, 0, 0) - (2.5, (2.5√3)/3, (5√2)/3) = (2.5, -(2.5√3)/3, -(5√2)/3)
• Теперь находим векторное произведение SC и SB:

n2 = SC x SB = (0, 2.5√3 - (2.5√3)/3, -(5√2)/3) x (2.5, -(2.5√3)/3, -(5√2)/3).

3. Вычислим косинус угла между нормалями:

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| * |n2|),

где "·" - скалярное произведение, а "|" - длина вектора.

4. Найдем длины нормалей:

• |n1| = sqrt((0)^2 + (0)^2 + (12.5√3)^2) = 12.5√3.
• |n2| = sqrt(...), подставив значения нормали n2.

5. Подставляем значения в формулу:

После нахождения всех значений, подставьте их в формулу для нахождения косинуса угла.

6. Получаем ответ:

Таким образом, мы можем найти косинус угла между плоскостями (SCB) и (ABC).