Чтобы найти периметр треугольника АВЕ, начнем с анализа данных, которые у нас есть.

• Треугольник ABC равнобедренный: это значит, что стороны AB и BC равны.
• Высота BE: равна 5 см. Она проведена из вершины B к основанию AC и делит треугольник на два прямоугольных треугольника: ABE и BCE.
• Периметр треугольника ABC: составляет 18 см.

Обозначим длину стороны AC как x, а длины сторон AB и BC как y. Поскольку треугольник равнобедренный, у нас есть:

1. Периметр = AB + BC + AC = y + y + x = 2y + x = 18 см.

Теперь нам нужно найти длины сторон AB и AC. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABE, где:

• BE = 5 см (высота),
• AE = x/2 (половина основания AC).

По теореме Пифагора в треугольнике ABE имеем:

1. y² = (x/2)² + 5².
2. y² = (x²/4) + 25.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. 2y + x = 18,
2. y² = (x²/4) + 25.

Из первого уравнения выразим x:

1. x = 18 - 2y.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

1. y² = ((18 - 2y)² / 4) + 25.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1. y² = (324 - 72y + 4y²) / 4 + 25.
2. 4y² = 324 - 72y + 4y² + 100.
3. 0 = 424 - 72y.
4. 72y = 424.
5. y = 5.89 см (примерно).

Теперь подставим значение y обратно в уравнение для x:

1. x = 18 - 2 * 5.89 = 6.22 см (примерно).

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABE:

1. Периметр ABE = AB + BE + AE = y + 5 + (x/2).
2. Периметр ABE = 5.89 + 5 + (6.22/2) = 5.89 + 5 + 3.11 = 14 см (примерно).

Таким образом, периметр треугольника ABE составляет примерно 14 см.