В равностороннем треугольнике ABC, где BD - медиана, и длина стороны AC равна 12, каким образом можно вычислить скалярное произведение векторов AB и BD?

Геометрия 7 класс Скалярное произведение векторов равносторонний треугольник медиана скалярное произведение векторы геометрия 7 класс длина стороны вычисление векторов Новый

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов AB и BD в равностороннем треугольнике ABC, где BD - медиана, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, можно удобно расположить его в координатной системе. Пусть:
• A(0, 0)
• B(12, 0)
• C(6, h), где h - высота треугольника.
2. Найдем высоту h треугольника. В равностороннем треугольнике высота делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. Используя теорему Пифагора:
• h = sqrt(AB^2 - (AC/2)^2) = sqrt(12^2 - (12/2)^2) = sqrt(144 - 36) = sqrt(108) = 6sqrt(3).
3. Теперь найдем координаты точки D. Так как D - середина отрезка AC, его координаты будут:
• D((0 + 12)/2, (0 + 6sqrt(3))/2) = D(6, 3sqrt(3)).
4. Запишем векторы AB и BD. Вектор AB можно записать как:
• AB = B - A = (12 - 0, 0 - 0) = (12, 0).

Вектор BD будет:

• BD = D - B = (6 - 12, 3sqrt(3) - 0) = (-6, 3sqrt(3)).
5. Теперь можем найти скалярное произведение векторов AB и BD. Скалярное произведение векторов A и B вычисляется по формуле:
• AB · BD = (AB_x * BD_x) + (AB_y * BD_y),

где AB_x и AB_y - компоненты вектора AB, а BD_x и BD_y - компоненты вектора BD. Подставим значения:

• AB · BD = (12 * -6) + (0 * 3sqrt(3)) = -72 + 0 = -72.

Ответ: Скалярное произведение векторов AB и BD равно -72.