В треугольнике проведены три высоты. Как можно доказать, что к самой длинной стороне треугольника проведена самая короткая высота?

Геометрия 7 класс Треугольники. Высоты треугольника треугольник высоты треугольника доказательство высоты длинная сторона короткая высота свойства треугольника геометрия 7 класс Новый

Давайте разберемся, как можно доказать, что в любом треугольнике высота, проведенная к самой длинной стороне, будет самой короткой.

Для начала, вспомним, что высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне. Высота показывает, насколько "высок" треугольник относительно данной стороны.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, где AB, BC и AC - его стороны, а высоты из вершин A, B и C - это hA, hB и hC соответственно. Предположим, что сторона BC является самой длинной, то есть BC > AB и BC > AC.

Чтобы понять, почему высота hA, проведенная к стороне BC, будет самой короткой, давайте воспользуемся следующим рассуждением:

1. Площадь треугольника: Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и соответствующую высоту. Например, площадь S можно записать как:
   • S = (1/2) * AB * hC
   • S = (1/2) * AC * hB
   • S = (1/2) * BC * hA
2. Сравнение высот: Поскольку сторона BC является самой длинной, для того чтобы площадь треугольника оставалась постоянной, высота hA должна быть меньше, чем высоты, проведенные к более коротким сторонам (hB и hC). Это связано с тем, что при фиксированной площади, если одна из сторон увеличивается, соответствующая высота должна уменьшаться.
3. Вывод: Таким образом, если BC > AB и BC > AC, то hA < hB и hA < hC. Это и доказывает, что высота, проведенная к самой длинной стороне, является самой короткой.

Таким образом, мы показали, что в любом треугольнике высота, проведенная к самой длинной стороне, будет самой короткой. Это важное свойство помогает лучше понять взаимосвязь между сторонами и высотами треугольника.