1) Если ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а, то как можно построить сечение куба, которое проходит через середины рёбер AA1, B1C1 и CD? Какова будет площадь этого сечения?

2) Если основание пирамиды представляет собой ромб с большей диагональю d и острым углом альфа, и все двугранные углы при основании пирамиды равны бета, то как можно вычислить площадь полной поверхности пирамиды?

Геометрия 8 класс Сечения многогранников и площади поверхностей фигур сечение куба площадь сечения ромб площадь полной поверхности двугранные углы геометрические задачи куб пирамидальная поверхность Новый

1) Сечение куба через середины рёбер

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1, где A, B, C, D - нижняя грань, а A1, B1, C1, D1 - верхняя грань. Ребро куба равно a. Нам нужно построить сечение, проходящее через середины рёбер AA1, B1C1 и CD.

Шаги для построения сечения:

1. Определим середины рёбер:
• Середина ребра AA1: точка M1 = (0, 0, a/2)
• Середина ребра B1C1: точка M2 = (a, a, a/2)
• Середина ребра CD: точка M3 = (a/2, a, 0)
2. Теперь у нас есть три точки: M1, M2 и M3. Эти точки определяют плоскость сечения.
3. Чтобы найти уравнение плоскости, можно использовать координаты этих точек. Плоскость можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0.
4. Подставляем координаты точек M1, M2 и M3 в это уравнение, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D.

Теперь найдем площадь сечения:

Это сечение будет треугольником, так как оно определяется тремя точками. Для нахождения площади треугольника, заданного координатами его вершин (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), можно использовать формулу:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставив координаты M1, M2 и M3 в эту формулу, мы можем вычислить площадь сечения.

2) Площадь полной поверхности пирамиды

Рассмотрим пирамиду с основанием в виде ромба, где большая диагональ равна d, а острый угол равен альфа. Все двугранные углы при основании равны бета.

Шаги для вычисления площади полной поверхности пирамиды:

1. Сначала найдем площадь основания (ромба). Площадь ромба можно вычислить по формуле:

Площадь основания = (d1 * d2) / 2,

где d1 и d2 - диагонали ромба. Если известна только большая диагональ d, то нужно выразить меньшую диагональ через угол альфа:

• Меньшая диагональ d2 = d * sin(альфа).
2. Теперь можем подставить значения в формулу площади:

Площадь основания = (d * (d * sin(альфа))) / 2 = (d^2 * sin(альфа)) / 2.

3. Теперь найдем площадь боковых граней. Каждая боковая грань является треугольником. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота.

4. Для боковых граней основание - это сторона ромба, а высота - это высота пирамиды, которую можно найти, используя угол бета:
• Высота = h = (сторона ромба) * tan(бета).
5. Сторона ромба может быть найдена через диагонали:

Сторона = sqrt((d1/2)^2 + (d2/2)^2) = sqrt((d/2)^2 + (d * sin(альфа)/2)^2).

6. Теперь подставим все значения и найдем площадь боковых граней и, соответственно, полную площадь поверхности пирамиды:

Полная площадь = Площадь основания + Площадь боковых граней.

Таким образом, мы можем вычислить полную площадь поверхности пирамиды, используя вышеописанные шаги.