1) Сечение куба через середины рёбер

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1, где A, B, C, D - нижняя грань, а A1, B1, C1, D1 - верхняя грань. Ребро куба равно a. Нам нужно построить сечение, проходящее через середины рёбер AA1, B1C1 и CD.

Шаги для построения сечения:

1. Определим середины рёбер:
• Середина ребра AA1: точка M1 = (0, 0, a/2)
• Середина ребра B1C1: точка M2 = (a, a, a/2)
• Середина ребра CD: точка M3 = (a/2, a, 0)
2. Теперь у нас есть три точки: M1, M2 и M3. Эти точки определяют плоскость сечения.
3. Чтобы найти уравнение плоскости, можно использовать координаты этих точек. Плоскость можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0.
4. Подставляем координаты точек M1, M2 и M3 в это уравнение, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D.

Теперь найдем площадь сечения:

Это сечение будет треугольником, так как оно определяется тремя точками. Для нахождения площади треугольника, заданного координатами его вершин (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3),можно использовать формулу:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставив координаты M1, M2 и M3 в эту формулу, мы можем вычислить площадь сечения.

2) Площадь полной поверхности пирамиды

Рассмотрим пирамиду с основанием в виде ромба, где большая диагональ равна d, а острый угол равен альфа. Все двугранные углы при основании равны бета.

Шаги для вычисления площади полной поверхности пирамиды:

1. Сначала найдем площадь основания (ромба). Площадь ромба можно вычислить по формуле:

Площадь основания = (d1 * d2) / 2,

где d1 и d2 - диагонали ромба. Если известна только большая диагональ d, то нужно выразить меньшую диагональ через угол альфа:

• Меньшая диагональ d2 = d * sin(альфа).
2. Теперь можем подставить значения в формулу площади:

Площадь основания = (d * (d * sin(альфа))) / 2 = (d^2 * sin(альфа)) / 2.

3. Теперь найдем площадь боковых граней. Каждая боковая грань является треугольником. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота.

4. Для боковых граней основание - это сторона ромба, а высота - это высота пирамиды, которую можно найти, используя угол бета:
• Высота = h = (сторона ромба) * tan(бета).
5. Сторона ромба может быть найдена через диагонали:

Сторона = sqrt((d1/2)^2 + (d2/2)^2) = sqrt((d/2)^2 + (d * sin(альфа)/2)^2).

6. Теперь подставим все значения и найдем площадь боковых граней и, соответственно, полную площадь поверхности пирамиды:

Полная площадь = Площадь основания + Площадь боковых граней.

Таким образом, мы можем вычислить полную площадь поверхности пирамиды, используя вышеописанные шаги.