1. На рисунке MN параллельно AC.
а) Как можно доказать, что произведение отрезков AB и BN равно произведению отрезков CB и BM?
б) Как найти длину отрезка MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, а AC = 21 см?
2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см, AB = 12 см, BC = 15 см, AC = 21 см. Какое отношение площадей этих треугольников?
СРОЧНОООО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Геометрия 8 класс Пропорциональные отрезки и площади треугольников параллельные отрезки произведение отрезков длина отрезка треугольники отношение площадей треугольников задача по геометрии

1. На рисунке MN параллельно AC.

а) Доказательство равенства произведений отрезков:

Чтобы доказать, что произведение отрезков AB и BN равно произведению отрезков CB и BM, можно использовать теорему о пропорциональных отрезках, которая гласит, что если две прямые параллельны одной из сторон треугольника, то отрезки, которые они отсекают на двух других сторонах, пропорциональны.

• Обозначим отрезки: AB = x, BN = y, CB = z, BM = w.
• Согласно теореме, имеем: AB / CB = BN / BM.
• Если мы умножим обе стороны на CB * BM, получим: AB * BM = CB * BN.
• Следовательно, произведение отрезков AB и BN действительно равно произведению отрезков CB и BM.

б) Поиск длины отрезка MN:

Для нахождения длины отрезка MN, который является отрезком, параллельным AC, можно воспользоваться свойством, что отрезок, параллельный основанию трапеции, делит боковые стороны пропорционально.

• Сначала найдем общее отношение отрезков AM и AC: AM = 6 см, AC = 21 см. Отношение AM к AC: 6 / 21 = 2 / 7.
• Теперь найдем длину отрезка MN, используя это отношение. Отрезок MN будет равен: MN = AC * (AM / AC) = 21 см * (2 / 7) = 6 см.

Таким образом, длина отрезка MN равна 6 см.

2. Отношение площадей треугольников PQR и ABC:

Для нахождения отношения площадей треугольников, можно использовать формулу, основанную на длинах сторон:

• Площадь треугольника пропорциональна квадрату его стороны, если треугольники подобны.
• Сначала найдем полупериметры треугольников PQR и ABC:
• Полупериметр PQR: (16 + 20 + 28) / 2 = 32 см.
• Полупериметр ABC: (12 + 15 + 21) / 2 = 24 см.
• Теперь найдем площади треугольников по формуле Герона:

Площадь треугольника PQR:

• p = 32 см, S = sqrt(p * (p - PQ) * (p - QR) * (p - PR)) = sqrt(32 * (32 - 16) * (32 - 20) * (32 - 28)) = sqrt(32 * 16 * 12 * 4) = 192 см².

Площадь треугольника ABC:

• p = 24 см, S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) = sqrt(24 * (24 - 12) * (24 - 15) * (24 - 21)) = sqrt(24 * 12 * 9 * 3) = 72 см².

Теперь найдем отношение площадей:

• Отношение площадей PQR и ABC: S(PQR) / S(ABC) = 192 см² / 72 см² = 8 / 3.

Таким образом, отношение площадей треугольников PQR и ABC равно 8:3.

Давайте разберем оба вопроса по очереди.

1. Доказательство произведения отрезков и нахождение длины отрезка MN:

а) Чтобы доказать, что произведение отрезков AB и BN равно произведению отрезков CB и BM, мы можем использовать теорему о пропорциональных отрезках, которая гласит, что если две параллельные линии пересекают две другие линии, то они делят их на пропорциональные отрезки.

• В данном случае, MN параллельно AC.
• Отрезки AB и BN находятся на одной стороне от линии MN, а отрезки CB и BM — на другой.
• По теореме о пропорциональных отрезках, мы можем записать: AB/CB = BM/BN.
• Умножив обе стороны на CB * BN, получаем: AB * BN = CB * BM.

Таким образом, мы доказали, что произведение отрезков AB и BN равно произведению отрезков CB и BM.

б) Теперь найдем длину отрезка MN. Мы знаем, что MN параллельно AC и можем использовать теорему о пропорциональных отрезках. У нас есть отрезки AM, BM и AC:

• AM = 6 см
• BM = 8 см
• AC = 21 см

Сначала найдем длину отрезка MB:

BM = 8 см, следовательно, AB = AM + MB = 6 см + 8 см = 14 см.

Теперь используем пропорцию:

• MN/AC = AM/AB

Подставим известные значения:

• MN/21 = 6/14.

Теперь решим это уравнение:

• MN = (6/14) * 21.
• MN = (3/7) * 21 = 9 см.

Таким образом, длина отрезка MN равна 9 см.

2. Отношение площадей треугольников PQR и ABC:

Для нахождения отношения площадей треугольников, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через стороны. Площадь треугольника можно выразить через стороны с помощью формулы Герона:

• Полупериметр (s) = (PQ + QR + PR) / 2.
• Площадь = sqrt(s * (s - PQ) * (s - QR) * (s - PR)).

Сначала найдем площадь треугольника PQR:

• PQ = 16 см
• QR = 20 см
• PR = 28 см

Полупериметр треугольника PQR:

• s = (16 + 20 + 28) / 2 = 32 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

• Площадь PQR = sqrt(32 * (32 - 16) * (32 - 20) * (32 - 28))
• Площадь PQR = sqrt(32 * 16 * 12 * 4) = sqrt(6144) = 78.4 см² (приблизительно).

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

• AB = 12 см
• BC = 15 см
• AC = 21 см

Полупериметр треугольника ABC:

• s = (12 + 15 + 21) / 2 = 24 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

• Площадь ABC = sqrt(24 * (24 - 12) * (24 - 15) * (24 - 21))
• Площадь ABC = sqrt(24 * 12 * 9 * 3) = sqrt(7776) = 88 см² (приблизительно).

Теперь найдем отношение площадей треугольников PQR и ABC:

• Отношение = Площадь PQR / Площадь ABC = 78.4 / 88 ≈ 0.89.

Таким образом, отношение площадей треугольников PQR и ABC примерно равно 0.89.