1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Какой периметр этого треугольника?

2. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке М. Каков радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12?

3. В четырехугольнике ABCD сумма длин сторон AB и CD равна 18, а диаметр вписанной в него окружности составляет 8. Какова площадь этого четырехугольника?

Геометрия 8 класс Вписанные окружности в треугольниках и четырехугольниках окружность равнобедренный треугольник периметр треугольника боковые стороны длины отрезков радиус окружности четырёхугольник сумма сторон площадь четырёхугольника диаметр окружности геометрия 8 класс Новый

1. Периметр равнобедренного треугольника с вписанной окружностью

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и основание BC. Окружность касается боковой стороны AC в точке K и делит её на два отрезка, длины которых равны 5 и 3. Это означает, что AK = 5 и KC = 3.

Поскольку треугольник равнобедренный, то отрезки, на которые окружность делит боковые стороны, будут равны для обеих боковых сторон. Обозначим длину стороны AB как x. Тогда:

• AM = AK = 5
• BM = BK = 3

Согласно свойству вписанной окружности, мы знаем, что:

• AB = AM + MB = 5 + 3 = 8
• AC = AK + KC = 5 + 3 = 8
• BC = AB + AC - 2 * AM = 8 + 8 - 2 * 5 = 6

Теперь мы можем найти периметр треугольника:

Периметр = AB + AC + BC = 8 + 8 + 6 = 22.

Ответ: периметр треугольника равен 22.

2. Радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике ABC, где основание BC, окружность касается стороны AB в точке M. Даны длины отрезков AM и BM:

• AM = 8
• BM = 12

Сначала найдем длину стороны AB:

AB = AM + MB = 8 + 12 = 20.

Радиус r вписанной окружности можно найти по формуле:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

Для нахождения площади S воспользуемся формулой Герона:

p = (AB + AC + BC) / 2.

Поскольку треугольник равнобедренный, то AB = AC, и мы можем обозначить их как x:

• BC = 20 (так как AB = AC = 20)
• p = (20 + 20 + 20) / 2 = 30.

Теперь можно найти площадь S:

S = r * p = r * 30.

Но у нас нет радиуса. Мы можем воспользоваться свойством, что r = (AM * BM) / (AM + BM) = (8 * 12) / (8 + 12) = 96 / 20 = 4.8.

Ответ: радиус окружности равен 4.8.

3. Площадь четырехугольника ABCD

В четырехугольнике ABCD сумма длин сторон AB и CD равна 18, а диаметр вписанной окружности составляет 8. Обозначим:

• AB + CD = 18
• d = 8 (диаметр окружности).

Площадь четырехугольника с вписанной окружностью можно найти по формуле:

Площадь = (AB + CD) * r,

где r - радиус окружности. Радиус r можно найти, зная диаметр d:

r = d / 2 = 8 / 2 = 4.

Теперь подставим значения в формулу площади:

Площадь = (18) * (4) = 72.

Ответ: площадь четырехугольника равна 72.