2025-03-14 23:42:26
1. У нас есть четырёхугольник MNKP, координаты его вершин: М(-6;1),N(2;5),К(4:-1),Р(-4;-5). Как можно доказать, что этот четырёхугольник является параллелограммом? Какие формулы нужны для нахождения его диагоналей?
2. В треугольнике ABC угол А равен 45 градусам, а высота ВО делит сторону АС на отрезки АО=4 и СО=8. Как можно вычислить длину медианы, проведённой из вершины С?
Геометрия8 классПараллелограммы и свойства треугольниковчетырехугольник MNKPкоординаты вершиндоказать параллелограммформулы диагоналейтреугольник ABCугол 45 градусоввысота BОотрезки AO и COдлина медианывершина C
2025-03-14 23:42:38
1. Доказательство, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом:
Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны равны или что его диагонали пересекаются в середине. В нашем случае мы будем использовать равенство противоположных сторон.
Сначала найдем координаты векторов, представляющих стороны четырёхугольника:
- Вектор MN: N - M = (2 - (-6),5 - 1) = (8, 4)
- Вектор KP: P - K = (-4 - 4, -5 - (-1)) = (-8, -4)
- Вектор NK: K - N = (4 - 2, -1 - 5) = (2, -6)
- Вектор PM: M - P = (-6 - (-4),1 - (-5)) = (-2, 6)
Теперь сравним векторы:
- MN = (8, 4) и KP = (-8, -4) - они противоположные, значит, MN || KP.
- NK = (2, -6) и PM = (-2, 6) - они тоже противоположные, значит, NK || PM.
Таким образом, мы показали, что обе пары противоположных сторон равны, следовательно, четырёхугольник MNKP является параллелограммом.
Формулы для нахождения диагоналей:
Диагонали параллелограмма пересекаются в середине. Для нахождения длины диагоналей можно использовать формулу расстояния между двумя точками:
Длина отрезка AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка.
В нашем случае, диагонали будут отрезками MN и KP, а также NK и PM. Вы можете подставить координаты и найти их длины.
2. Вычисление длины медианы из вершины C в треугольнике ABC:
В треугольнике ABC, где угол A равен 45 градусам, высота BО делит сторону AC на отрезки AO и CO. Для нахождения длины медианы, проведённой из вершины C, мы можем воспользоваться формулой для длины медианы:
Медиана m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),
где a и b - длины сторон, прилежащих к вершине C, а c - длина стороны AB.
Сначала найдем длину стороны AC:
- AC = AO + CO = 4 + 8 = 12.
Теперь нам нужно найти длины сторон AB и BC. Для этого используем свойства высоты и угла:
- AB = AO / cos(A) = 4 / cos(45°) = 4 * sqrt(2).
- BC = CO / sin(A) = 8 / sin(45°) = 8 * sqrt(2).
Теперь подставляем эти значения в формулу медианы:
- m = 1/2 * sqrt(2*(4 * sqrt(2))^2 + 2*(8 * sqrt(2))^2 - 12^2).
После упрощения вы получите длину медианы из вершины C.
