1. У нас есть четырёхугольник MNKP, координаты его вершин: М(-6;1), N(2;5), К(4:-1), Р(-4;-5). Как можно доказать, что этот четырёхугольник является параллелограммом? Какие формулы нужны для нахождения его диагоналей?

2. В треугольнике ABC угол А равен 45 градусам, а высота ВО делит сторону АС на отрезки АО=4 и СО=8. Как можно вычислить длину медианы, проведённой из вершины С?

Геометрия 8 класс Параллелограммы и свойства треугольников четырехугольник MNKP координаты вершин доказать параллелограмм формулы диагоналей треугольник ABC угол 45 градусов высота BО отрезки AO и CO длина медианы вершина C Новый

1. Доказательство, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом:

Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны равны или что его диагонали пересекаются в середине. В нашем случае мы будем использовать равенство противоположных сторон.

Сначала найдем координаты векторов, представляющих стороны четырёхугольника:

• Вектор MN: N - M = (2 - (-6), 5 - 1) = (8, 4)
• Вектор KP: P - K = (-4 - 4, -5 - (-1)) = (-8, -4)
• Вектор NK: K - N = (4 - 2, -1 - 5) = (2, -6)
• Вектор PM: M - P = (-6 - (-4), 1 - (-5)) = (-2, 6)

Теперь сравним векторы:

• MN = (8, 4) и KP = (-8, -4) - они противоположные, значит, MN || KP.
• NK = (2, -6) и PM = (-2, 6) - они тоже противоположные, значит, NK || PM.

Таким образом, мы показали, что обе пары противоположных сторон равны, следовательно, четырёхугольник MNKP является параллелограммом.

Формулы для нахождения диагоналей:

Диагонали параллелограмма пересекаются в середине. Для нахождения длины диагоналей можно использовать формулу расстояния между двумя точками:

Длина отрезка AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка.

В нашем случае, диагонали будут отрезками MN и KP, а также NK и PM. Вы можете подставить координаты и найти их длины.

2. Вычисление длины медианы из вершины C в треугольнике ABC:

В треугольнике ABC, где угол A равен 45 градусам, высота BО делит сторону AC на отрезки AO и CO. Для нахождения длины медианы, проведённой из вершины C, мы можем воспользоваться формулой для длины медианы:

Медиана m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),

где a и b - длины сторон, прилежащих к вершине C, а c - длина стороны AB.

Сначала найдем длину стороны AC:

• AC = AO + CO = 4 + 8 = 12.

Теперь нам нужно найти длины сторон AB и BC. Для этого используем свойства высоты и угла:

• AB = AO / cos(A) = 4 / cos(45°) = 4 * sqrt(2).
• BC = CO / sin(A) = 8 / sin(45°) = 8 * sqrt(2).

Теперь подставляем эти значения в формулу медианы:

• m = 1/2 * sqrt(2*(4 * sqrt(2))^2 + 2*(8 * sqrt(2))^2 - 12^2).

После упрощения вы получите длину медианы из вершины C.