Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке E стороны BC. Как можно доказать, что E является серединой отрезка BC?

Геометрия 8 класс Биссектрисы и параллелограммы биссектрисы Углы A D параллелограмм ABCD точка E сторона BC доказательство середина отрезок геометрия 8 класс Новый

Давайте докажем, что точка E является серединой отрезка BC, используя свойства биссектрис и параллелограмма.

1. Рассмотрим угол A и биссектрису AE. Поскольку AE является биссектрисой угла A, то она делит угол A на два равных угла:

• ∠BEA = ∠EAD.

2. Также мы знаем, что прямые BC и AD параллельны. Это означает, что при пересечении линии AE с параллельными линиями BC и AD, углы ∠BEA и ∠EAD являются накрест лежащими. Следовательно:

• ∠BEA = ∠EAD.

3. Теперь мы можем сказать, что угол EAD равен углу EAB, поскольку AE является биссектрисой:

• ∠EAD = ∠EAB.

4. Таким образом, мы имеем равенство углов:

• ∠BEA = ∠EAB.

5. Это означает, что треугольник EAB является равнобедренным, и следовательно:

• AB = BE.

6. Теперь рассмотрим угол D и биссектрису DE. Аналогично, при пересечении линии DE с параллельными линиями BC и AD:

• ∠DEC = ∠EDA (накрест лежащие).

7. Угол EDC также равен углу EDA, поскольку DE является биссектрисой:

• ∠EDA = ∠EDC.

8. Следовательно, мы имеем:

• ∠DEC = ∠EDC.

9. Это также указывает на то, что треугольник EDC равнобедренный, и отсюда:

• CD = CE.

10. Теперь у нас есть два равенства:

• AB = BE,
• CD = CE.

11. Поскольку AB и CD равны (так как ABCD - параллелограмм), мы можем заключить, что:

• BE = CE.

Таким образом, мы можем утверждать, что точка E является серединой отрезка BC, поскольку BE равно CE. Это завершает наше доказательство.