Давайте разберемся с данной задачей по шагам. У нас есть треугольник ABC с периметром 52. Из условия известно, что отрезки AM и BM равны, отрезки BN и NC равны, а также отрезки AK и CK равны. Это указывает на то, что точки M, N и K являются серединами соответствующих отрезков.

Чтобы найти периметр треугольника MNK, нам нужно выяснить, какие длины имеют стороны MN, NK и KM.

1. Определим длины отрезков:
• Пусть AM = BM = x.
• Пусть BN = NC = y.
• Пусть AK = CK = z.

Теперь мы можем выразить стороны треугольника ABC через x, y и z:

1. Сторона AB = AM + BM = x + x = 2x.
2. Сторона BC = BN + NC = y + y = 2y.
3. Сторона AC = AK + KC = z + z = 2z.

Теперь мы можем записать уравнение для периметра треугольника ABC:

2x + 2y + 2z = 52.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

x + y + z = 26.

Теперь найдем периметр треугольника MNK. Стороны MN, NK и KM будут равны половине соответствующих сторон треугольника ABC:

1. Сторона MN = (AB) / 2 = (2x) / 2 = x.
2. Сторона NK = (BC) / 2 = (2y) / 2 = y.
3. Сторона KM = (AC) / 2 = (2z) / 2 = z.

Теперь мы можем выразить периметр треугольника MNK:

Периметр MNK = MN + NK + KM = x + y + z.

Мы уже нашли, что x + y + z = 26.

Таким образом, периметр треугольника MNK равен 26.