Даны четыре точки A(0;0), B(1;1), C(0;2), D(-1;1). Как можно доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом?

Геометрия 8 класс Свойства квадратов четырехугольник ABCD доказать квадрат геометрия 8 класс свойства квадратов координаты точек методы доказательства планиметрия геометрические фигуры Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить несколько условий: все стороны должны быть равны, а углы между ними должны быть прямыми (90 градусов). Давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Найдем длины сторон четырехугольника ABCD.

Для этого используем формулу для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

дистанция = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

• Сторона AB:

AB = √((1 - 0)² + (1 - 0)²) = √(1 + 1) = √2.

• Сторона BC:

BC = √((0 - 1)² + (2 - 1)²) = √(1 + 1) = √2.

• Сторона CD:

CD = √((-1 - 0)² + (1 - 2)²) = √(1 + 1) = √2.

• Сторона DA:

DA = √((0 - (-1))² + (0 - 1)²) = √(1 + 1) = √2.

Таким образом, все стороны равны: AB = BC = CD = DA = √2.

Шаг 2: Проверим углы четырехугольника.

Чтобы проверить углы, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Для этого найдем векторы:

• Вектор AB: AB = (1 - 0, 1 - 0) = (1, 1).
• Вектор BC: BC = (0 - 1, 2 - 1) = (-1, 1).
• Вектор CD: CD = (-1 - 0, 1 - 2) = (-1, -1).
• Вектор DA: DA = (0 - (-1), 0 - 1) = (1, -1).

Теперь проверим угол ABC:

Скалярное произведение векторов AB и BC:

AB • BC = (1 * -1) + (1 * 1) = -1 + 1 = 0.

Поскольку скалярное произведение равно 0, угол ABC равен 90 градусам.

Аналогично проверим угол BCD:

Скалярное произведение векторов BC и CD:

BC • CD = (-1 * -1) + (1 * -1) = 1 - 1 = 0.

Таким образом, угол BCD также равен 90 градусам.

Проверяем угол CDA:

Скалярное произведение векторов CD и DA:

CD • DA = (-1 * 1) + (-1 * -1) = -1 + 1 = 0.

И, наконец, угол DAB:

Скалярное произведение векторов DA и AB:

DA • AB = (1 * 1) + (-1 * 1) = 1 - 1 = 0.

Все углы равны 90 градусам, что подтверждает, что ABCD является квадратом.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является квадратом, так как все его стороны равны, а все углы равны 90 градусам.