Давайте поэтапно решим все поставленные задачи.

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(7;1) и B(8;7).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, воспользуемся формулой для нахождения углового коэффициента (k):

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B.

Подставляем значения:

• k = (7 - 1) / (8 - 7) = 6 / 1 = 6.

Теперь, зная угловой коэффициент, можем записать уравнение прямой в виде:

• y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки A.

Подставим значения:

• y - 1 = 6(x - 7).

Раскроем скобки:

• y - 1 = 6x - 42.

Переносим 1 в правую часть:

• y = 6x - 41.

Таким образом, уравнение прямой: y = 6x - 41.

2. Вычислить расстояние между точками A и B.

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставим наши точки:

• d = √((8 - 7)² + (7 - 1)²) = √(1² + 6²) = √(1 + 36) = √37.

Таким образом, расстояние между точками A и B равно √37.

3. Найти точку C - середину отрезка AB.

Середина отрезка AB находится по формуле:

• C(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

Подставим значения:

• C = ((7 + 8) / 2, (1 + 7) / 2) = (15 / 2, 8 / 2) = (7.5, 4).

Таким образом, координаты точки C: C(7.5; 4).

4. Начертить прямую, проходящую через точки A и B.

К сожалению, я не могу нарисовать график, но вы можете сделать это на бумаге. Для этого отметьте точки A(7;1) и B(8;7) на координатной плоскости и проведите прямую, используя уравнение y = 6x - 41.

Теперь перейдем к алгебраическим задачам.

5. Решить уравнение x² - 17x + 16 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

• D = b² - 4ac, где a = 1, b = -17, c = 16.

Подставим значения:

• D = (-17)² - 4 * 1 * 16 = 289 - 64 = 225.

Теперь найдем корни уравнения:

• x1,2 = ( -b ± √D ) / 2a.

Подставим значения:

• x1 = (17 + √225) / 2 = (17 + 15) / 2 = 32 / 2 = 16,
• x2 = (17 - √225) / 2 = (17 - 15) / 2 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, корни уравнения: x1 = 16, x2 = 1.

6. Решить неравенство (x - 7)(x + 3)(x + 1)²(x² - 4x + 4) < 0.

Сначала найдем корни каждого множителя:

• (x - 7) = 0 → x = 7,
• (x + 3) = 0 → x = -3,
• (x + 1)² = 0 → x = -1 (двойной корень),
• (x² - 4x + 4) = 0 → (x - 2)² = 0 → x = 2 (двойной корень).

Корни: x = -3, -1, 2, 7. Теперь расставим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

• (-∞, -3): все множители отрицательные → знак положительный.
• (-3, -1): (x - 7) и (x + 3) отрицательные, остальные положительные → знак отрицательный.
• (-1, 2): (x - 7) положительный, (x + 3) положительный, (x + 1) отрицательный, (x² - 4x + 4) положительный → знак отрицательный.
• (2, 7): (x - 7) положительный, остальные положительные → знак положительный.
• (7, +∞): все множители положительные → знак положительный.

Теперь определим, где неравенство меньше нуля:

• (-3, -1) и (-1, 2).

Таким образом, решение неравенства: (-3, -1) U (-1, 2).

На этом все! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их.