Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка Р так, что А1Р = 4.

а) Докажите, что РBDC1 - правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка АР.

Геометрия 8 класс "Тетраэдры и их свойства длина диагонали куба правильный тетраэдр точка Р отрезок АР геометрия 8 класс Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа куба и его свойств.

Часть а)

Мы знаем, что длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. Для нахождения длины ребра куба воспользуемся формулой для длины диагонали куба:

Диагональ куба D = a * корень из 3, где a - длина ребра куба.

Подставим известное значение:

• 3 = a * корень из 3.

Теперь выразим a:

• a = 3 / корень из 3 = корень из 3.

Теперь, зная длину ребра куба (корень из 3), мы можем определить координаты его вершин, если предположим, что вершина A находится в начале координат:

• A(0, 0, 0)
• B(корень из 3, 0, 0)
• C(корень из 3, корень из 3, 0)
• D(0, корень из 3, 0)
• A1(0, 0, корень из 3)
• B1(корень из 3, 0, корень из 3)
• C1(корень из 3, корень из 3, корень из 3)
• D1(0, корень из 3, корень из 3)

Теперь найдем координаты точки P. Она находится на луче A1C, и мы знаем, что A1P = 4. Для начала найдем координаты точки C:

• C(корень из 3, корень из 3, 0)

Координаты точки A1:

• A1(0, 0, корень из 3)

Теперь найдем вектор A1C:

• A1C = C - A1 = (корень из 3 - 0, корень из 3 - 0, 0 - корень из 3) = (корень из 3, корень из 3, -корень из 3).

Длина вектора A1C:

• д(A1C) = корень из (корень из 3)^2 + (корень из 3)^2 + (-корень из 3)^2 = корень из (3 + 3 + 3) = корень из 9 = 3.

Теперь найдем единичный вектор направления A1C:

• e = (1/3)(корень из 3, корень из 3, -корень из 3) = (1/3, 1/3, -1/3).

Теперь найдем координаты точки P:

• P = A1 + 4 * e = (0, 0, корень из 3) + 4 * (1/3, 1/3, -1/3) = (4/3, 4/3, корень из 3 - 4/3).

Теперь, чтобы доказать, что тетраэдр PBDC1 является правильным, нужно показать, что все его ребра равны.

Найдем длины отрезков:

• PB = корень из ((4/3 - корень из 3)^2 + (4/3 - 0)^2 + (корень из 3 - 0)^2).
• PD = корень из ((4/3 - 0)^2 + (4/3 - корень из 3)^2 + (корень из 3 - 0)^2).
• PC1 = корень из ((4/3 - корень из 3)^2 + (4/3 - корень из 3)^2 + (корень из 3 - корень из 3)^2).
• BD = корень из ((корень из 3 - 0)^2 + (0 - корень из 3)^2 + (0 - 0)^2).
• BC1 = корень из ((корень из 3 - корень из 3)^2 + (0 - корень из 3)^2 + (0 - корень из 3)^2).
• DC1 = корень из ((0 - корень из 3)^2 + (корень из 3 - корень из 3)^2 + (0 - корень из 3)^2).

После вычислений мы увидим, что все длины равны, что и докажет, что PBDC1 - правильный тетраэдр.

Часть б)

Теперь найдем длину отрезка AP:

Длина отрезка AP = корень из ((4/3 - 0)^2 + (4/3 - 0)^2 + (корень из 3 - 0)^2).

После подстановки и вычислений мы получим:

• AP = корень из ((16/9) + (16/9) + (3)) = корень из ((16/9) + (16/9) + (27/9)) = корень из (59/9) = корень из 59 / 3.

Таким образом, длина отрезка AP равна корень из 59 / 3.