Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(-12;6), В(0;11), С(5;-1), Д(-7;-6) является квадратом.

Геометрия 8 класс Свойства квадратов и доказательства геометрия 8 класс четырёхугольник доказательство квадрат координаты вершины АВСД точки свойства квадрата расстояние между точками перпендикулярность равные стороны углы квадрата Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, мы начнем с нахождения длины его сторон и диагоналей. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости.

Давайте начнем с вычисления длин сторон:

1. Сначала найдем длину стороны AB:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((0 - (-12))² + (11 - 6)²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

2. Теперь найдем длину стороны BC:

BC = √((5 - 0)² + (-1 - 11)²) = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

3. Теперь найдем длину стороны CD:

CD = √((-7 - 5)² + (-6 - (-1))²) = √((-12)² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.

4. И наконец, найдем длину стороны DA:

DA = √((-12 - (-7))² + (6 - (-6))²) = √((-5)² + (12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Мы видим, что все стороны (AB, BC, CD, DA) равны и равны 13. Это означает, что четырехугольник ABCD является ромбом.

Теперь нам нужно проверить, является ли этот ромб квадратом. Для этого мы должны найти длины диагоналей:

1. Первая диагональ AC:

AC = √((5 - (-12))² + (-1 - 6)²) = √((5 + 12)² + (-7)²) = √(17² + 7²) = √(289 + 49) = √338.

2. Вторая диагональ BD:

BD = √((-7 - 0)² + (-6 - 11)²) = √((-7)² + (-17)²) = √(49 + 289) = √338.

Мы видим, что обе диагонали (AC и BD) равны и равны √338. В ромбе, если диагонали равны, то он является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является квадратом.