Как можно доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра?

Геометрия 8 класс Сумма диагоналей четырехугольника сумма диагоналей четырёхугольник периметр доказательство геометрия 8 класс Новый

Чтобы доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра, рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим диагонали AC и BD. Периметр четырехугольника можно выразить как сумму всех его сторон:

Периметр (P) = AB + BC + CD + DA

Теперь давайте рассмотрим сумму диагоналей:

Сумма диагоналей (S) = AC + BD

Нам нужно показать, что S < P, то есть:

AC + BD < AB + BC + CD + DA

Для этого воспользуемся неравенством треугольника. Напомним, что для любого треугольника сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Рассмотрим два треугольника, которые можно образовать с помощью диагоналей:

• Треугольник ABC с сторонами AB, AC и BC.
• Треугольник ACD с сторонами AC, AD и CD.

По неравенству треугольника для треугольника ABC имеем:

AB + BC > AC

А для треугольника ACD:

AD + CD > AC

Теперь сложим эти два неравенства:

(AB + BC) + (AD + CD) > 2AC

Аналогично, можно рассмотреть треугольники ABD и BCD:

• Треугольник ABD с сторонами AB, AD и BD.
• Треугольник BCD с сторонами BC, CD и BD.

По неравенству треугольника для треугольника ABD имеем:

AB + AD > BD

А для треугольника BCD:

BC + CD > BD

Сложив эти два неравенства, получаем:

(AB + AD) + (BC + CD) > 2BD

Теперь объединим все неравенства:

AB + AD + BC + CD > AC + BD

Таким образом, мы можем записать:

P > AC + BD

Что и доказывает, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра:

AC + BD < P

Это неравенство верно для любого произвольного четырехугольника. Таким образом, мы завершили доказательство.