Как можно доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра?
Геометрия 8 класс Сумма диагоналей четырехугольника сумма диагоналей четырёхугольник периметр доказательство геометрия 8 класс Новый
Чтобы доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра, рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим диагонали AC и BD. Периметр четырехугольника можно выразить как сумму всех его сторон:
Периметр (P) = AB + BC + CD + DA
Теперь давайте рассмотрим сумму диагоналей:
Сумма диагоналей (S) = AC + BD
Нам нужно показать, что S < P, то есть:
AC + BD < AB + BC + CD + DA
Для этого воспользуемся неравенством треугольника. Напомним, что для любого треугольника сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Рассмотрим два треугольника, которые можно образовать с помощью диагоналей:
По неравенству треугольника для треугольника ABC имеем:
AB + BC > AC
А для треугольника ACD:
AD + CD > AC
Теперь сложим эти два неравенства:
(AB + BC) + (AD + CD) > 2AC
Аналогично, можно рассмотреть треугольники ABD и BCD:
По неравенству треугольника для треугольника ABD имеем:
AB + AD > BD
А для треугольника BCD:
BC + CD > BD
Сложив эти два неравенства, получаем:
(AB + AD) + (BC + CD) > 2BD
Теперь объединим все неравенства:
AB + AD + BC + CD > AC + BD
Таким образом, мы можем записать:
P > AC + BD
Что и доказывает, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра:
AC + BD < P
Это неравенство верно для любого произвольного четырехугольника. Таким образом, мы завершили доказательство.