Чтобы доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра, рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим диагонали AC и BD. Периметр четырехугольника можно выразить как сумму всех его сторон:

Теперь давайте рассмотрим сумму диагоналей:

Нам нужно показать, что S < P, то есть:

Для этого воспользуемся неравенством треугольника. Напомним, что для любого треугольника сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Рассмотрим два треугольника, которые можно образовать с помощью диагоналей:

• Треугольник ABC с сторонами AB, AC и BC.
• Треугольник ACD с сторонами AC, AD и CD.

По неравенству треугольника для треугольника ABC имеем:

А для треугольника ACD:

Теперь сложим эти два неравенства:

Аналогично, можно рассмотреть треугольники ABD и BCD:

• Треугольник ABD с сторонами AB, AD и BD.
• Треугольник BCD с сторонами BC, CD и BD.

По неравенству треугольника для треугольника ABD имеем:

А для треугольника BCD:

Сложив эти два неравенства, получаем:

Теперь объединим все неравенства:

Таким образом, мы можем записать:

Что и доказывает, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра:

Это неравенство верно для любого произвольного четырехугольника. Таким образом, мы завершили доказательство.