Для доказательства данного утверждения, давайте сначала обозначим некоторые элементы нашей задачи:

• Окружность с центром O и радиусом R.
• Диаметр AB, где A и B – точки на окружности.
• Касательная к окружности, проведенная в точке C, которая является точкой касания окружности.
• Перпендикуляры, проведенные из точек A и B к касательной, пересекают касательную в точках D и E соответственно.

Теперь мы можем перейти к шагам доказательства:

1. Построение: Проведем перпендикуляры AD и BE из точек A и B к касательной. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с касательной как D и E.
2. Свойства касательной: По определению касательной, она перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания. То есть, OD перпендикулярен касательной в точке C.
3. Треугольники: Рассмотрим треугольники ODC и OEC. Оба треугольника имеют общий угол O, а также углы DCO и ECO равны, так как они оба являются углами между перпендикулярами и касательной.
4. Равенство треугольников: Таким образом, по двум углам и стороне (OC),треугольники ODC и OEC равны по признаку равенства треугольников (угол-угол-сторона).
5. Следствие из равенства: Из равенства треугольников следует, что OD = OE. Это означает, что отрезок DE делится пополам точкой C.
6. Заключение: Таким образом, точка C, в которой касательная касается окружности, действительно является серединой отрезка DE, соединяющего точки D и E, где проведены перпендикуляры из концов диаметра AB к касательной.

Таким образом, мы доказали, что точка касания окружности с касательной является серединой отрезка, соединяющего точки, в которых из концов диаметра AB проведены перпендикуляры к этой касательной.