Как можно вычислить объем правильной 12-угольной пирамиды, если апофема равна 2 корня из 2, а все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов?

Геометрия 8 класс Объем правильной пирамиды объем правильной 12-угольной пирамиды апофема наклон боковых граней геометрия 8 класс вычисление объема пирамиды Новый

Чтобы вычислить объем правильной 12-угольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем шаги по вычислению объема.

Шаг 1: Вычисление площади основания

Основание нашей пирамиды - правильный 12-угольник. Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (n * a^2) / (4 * tg(π / n)),

где n - количество сторон (в нашем случае 12), а a - длина стороны основания.

Сначала нам нужно найти длину стороны a. Мы знаем, что все боковые грани наклонены под углом 45 градусов к плоскости основания. Это значит, что если мы проведем перпендикуляр от вершины пирамиды до центра основания, то он будет равен высоте пирамиды.

Шаг 2: Вычисление высоты

Апофема (d) пирамиды равна 2 корня из 2. Апофема - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой одной из сторон основания, перпендикулярный этой стороне. У нас есть треугольник, образованный апофемой, высотой и половиной стороны основания.

Обозначим высоту пирамиды как h. В нашем случае, поскольку угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 45 градусов, мы можем сказать, что:

• h = d * cos(45°) = (2√2) * (1/√2) = 2.

Шаг 3: Вычисление длины стороны основания

Теперь, используя свойства 12-угольника, мы можем найти длину стороны a. В 12-угольнике, если мы знаем радиус описанной окружности R, длина стороны a может быть вычислена по формуле:

a = 2 * R * sin(π / 12).

Мы знаем, что R = h / sin(45°) = 2 / (1/√2) = 2√2.

Таким образом, подставляем R в формулу для длины стороны:

• a = 2 * (2√2) * sin(π / 12).

Теперь, подставив значение a в формулу для площади, мы можем вычислить площадь основания. Шаг 4: Вычисление объема

Объем V пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Теперь, подставив все найденные значения, мы можем найти объем правильной 12-угольной пирамиды.