Как можно выяснить, в каком соотношении диагональ AC делит диагональ BD, если известны координаты вершин четырехугольника A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4), D(5; 8)?

Геометрия 8 класс Диагонали четырехугольника координаты вершин диагонали четырехугольника соотношение диагоналей геометрия 8 класс вычисление координат четырехугольник ABCD деление диагоналей задачи по геометрии Новый

Чтобы выяснить, в каком соотношении диагональ AC делит диагональ BD, мы можем воспользоваться координатами вершин четырехугольника и формулой для нахождения точки пересечения двух отрезков.

Давайте начнем с определения координат вершин:

• A(-3; 12)
• B(3; -4)
• C(5; -4)
• D(5; 8)

Теперь мы найдем уравнения для диагоналей AC и BD. Для этого нам нужно определить координаты их концов и использовать формулы для нахождения уравнений прямых.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой AC

Координаты точек A и C:

• A(-3; 12)
• C(5; -4)

Найдем наклон (угловой коэффициент) прямой AC:

m_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) = (-4 - 12) / (5 - (-3)) = -16 / 8 = -2.

Теперь мы можем записать уравнение прямой в виде y = mx + b. Подставим координаты точки A, чтобы найти b:

12 = -2 * (-3) + b

12 = 6 + b

b = 12 - 6 = 6.

Таким образом, уравнение прямой AC: y = -2x + 6.

Шаг 2: Найдем уравнение прямой BD

Координаты точек B и D:

• B(3; -4)
• D(5; 8)

Найдем наклон (угловой коэффициент) прямой BD:

m_BD = (y_D - y_B) / (x_D - x_B) = (8 - (-4)) / (5 - 3) = 12 / 2 = 6.

Теперь запишем уравнение прямой BD. Подставим координаты точки B:

-4 = 6 * 3 + b

-4 = 18 + b

b = -4 - 18 = -22.

Таким образом, уравнение прямой BD: y = 6x - 22.

Шаг 3: Найдем точку пересечения диагоналей AC и BD

Для этого приравняем уравнения:

-2x + 6 = 6x - 22.

Переносим все x в одну сторону:

6 + 22 = 6x + 2x

28 = 8x

x = 28 / 8 = 3.5.

Подставим x = 3.5 в уравнение AC для нахождения y:

y = -2 * 3.5 + 6 = -7 + 6 = -1.

Таким образом, точка пересечения диагоналей AC и BD имеет координаты (3.5; -1).

Шаг 4: Найдем соотношение деления отрезков

Теперь найдем, в каком соотношении точка пересечения делит отрезки BD. Для этого используем формулу:

k = (d₁ / d₂) = (AB / AD), где d₁ и d₂ - расстояния от точки пересечения до концов отрезка BD.

Расстояние от B(3; -4) до P(3.5; -1):

d₁ = √((3.5 - 3)² + (-1 + 4)²) = √(0.5² + 3²) = √(0.25 + 9) = √9.25.

Расстояние от D(5; 8) до P(3.5; -1):

d₂ = √((3.5 - 5)² + (-1 - 8)²) = √((-1.5)² + (-9)²) = √(2.25 + 81) = √83.25.

Теперь мы можем найти соотношение:

k = d₁ : d₂ = √9.25 : √83.25.

Таким образом, мы получили соотношение, в котором диагональ AC делит диагональ BD.