Как найти диагональ прямоугольника ABCD, если угол CAD равен 30 градусам, а длина стороны CD составляет 4 см?

Геометрия 8 класс Диагонали и углы прямоугольника диагональ прямоугольника угол CAD 30 градусов длина стороны CD 4 см геометрия 8 класс формула диагонали свойства прямоугольника треугольники вычисление диагонали Новый

Чтобы найти диагональ прямоугольника ABCD, где угол CAD равен 30 градусам, а длина стороны CD составляет 4 см, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами прямоугольника и тригонометрией. Давайте разберем шаги решения:

1. Определим стороны прямоугольника: В прямоугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а стороны AD и BC также равны. Поскольку CD = 4 см, то AB тоже равно 4 см.
2. Найдем длину стороны AD: Угол CAD равен 30 градусам. В прямоугольнике угол CAD образуется между стороной AD и диагональю AC. Мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы найти длину стороны AD. Поскольку угол CAD равен 30 градусам, мы можем использовать отношение:
• sin(30°) = противолежащий/гипотенуза
• sin(30°) = AD / AC
• Поскольку sin(30°) = 1/2, получаем:
• 1/2 = AD / AC
• AD = AC / 2
3. Найдем длину диагонали AC: Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольнике ABCD диагональ AC можно найти по формуле:
• AC = √(AB² + AD²)
• AC = √(4² + AD²)
4. Теперь подставим значение AD:
• AC = √(4² + (AC/2)²)
• AC = √(16 + AC²/4)
5. Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:
• 4AC = √(64 + AC²)
6. Теперь возведем обе стороны в квадрат:
• (4AC)² = 64 + AC²
• 16AC² = 64 + AC²
7. Теперь перенесем все в одну сторону:
• 16AC² - AC² - 64 = 0
• 15AC² - 64 = 0
8. Решим это уравнение:
• 15AC² = 64
• AC² = 64/15
• AC = √(64/15) = 8/√15
9. Теперь мы можем найти длину диагонали AC:
• AC ≈ 2.06 см

Таким образом, диагональ прямоугольника ABCD составляет примерно 2.06 см.