Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Площадь параллелограмма ABCD с известными диагоналями:

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу, связанную с его диагоналями. Если известны длины диагоналей AC и BD, а также угол между ними, то площадь S можно вычислить по формуле:

• S = (d1 * d2 * sin(α)) / 2,

где d1 и d2 - длины диагоналей, а α - угол между ними. Если угол не известен, но известен отрезок MN, который является средней линией, то можно использовать его длину для нахождения площади через высоту.

2. Длина большего основания прямоугольной трапеции MNKP:

Для нахождения длины большего основания трапеции, если известна площадь S и угол φ между высотой и основанием, можно использовать следующую формулу:

• S = (a + b) * h / 2,

где a и b - основания, h - высота. Высоту можно выразить через угол φ:

• h = MN * sin(φ),

Подставив h в формулу для площади, мы можем выразить одно основание через другое:

• S = (a + b) * (MN * sin(φ)) / 2.

Теперь можно решить это уравнение относительно a или b, зная S и MN.

3. Площадь равностороннего треугольника ABC:

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

• S = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника. Чтобы найти радиус вписанной окружности r, используйте формулу:

• r = a * √3 / 6.

Длина большей дуги окружности, описанной около треугольника, равна:

• R = a / √3,

где R - радиус описанной окружности. Дуга, соответствующая углу в 60 градусов (поскольку треугольник равносторонний), будет равна:

• длина дуги = (2πR * 60°) / 360° = (πR) / 3.

Таким образом, мы рассмотрели все ваши вопросы. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными задачами, не стесняйтесь спрашивать!