Как определить высоту правильной треугольной пирамиды, если площадь ее основания равна 27 корень из 3 см², а полная поверхность составляет 72 корень из 3 см²?

Геометрия 8 класс Высота правильной треугольной пирамиды высота треугольной пирамиды площадь основания полная поверхность геометрия 8 класс правильная треугольная пирамида Новый

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать данные, которые у нас есть: площадь основания и полная поверхность пирамиды.

1. Определим площадь боковой поверхности.

• Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
• Площадь основания (S) равна 27 корень из 3 см².
• Полная поверхность (P) равна 72 корень из 3 см².
• Площадь боковой поверхности (Sб) можно найти по формуле: Sб = P - S.

Подставим известные значения:

Sб = 72 корень из 3 - 27 корень из 3 = 45 корень из 3 см².

2. Определим высоту боковой грани.

• Правильная треугольная пирамида имеет три боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником.
• Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех трех боковых граней: Sб = 3 * (1/2 * a * hб), где a - сторона основания, hб - высота боковой грани.

3. Найдем сторону основания.

• Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: S = (a^2 * корень из 3) / 4.
• Решим уравнение: 27 корень из 3 = (a^2 * корень из 3) / 4.
• Умножим обе стороны на 4: 108 корень из 3 = a^2 * корень из 3.
• Разделим обе стороны на корень из 3: 108 = a^2.
• Таким образом, a = корень из 108 = 6 корень из 3 см.

4. Теперь найдем высоту боковой грани.

• Подставим a в формулу для площади боковой поверхности: 45 корень из 3 = 3 * (1/2 * (6 корень из 3) * hб).
• Упрощаем: 45 корень из 3 = 9 корень из 3 * hб.
• Разделим обе стороны на 9 корень из 3: hб = 5 см.

5. Теперь найдем высоту пирамиды.

• Используем теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды (h) и высоты боковой грани (hб) в треугольнике, где одна из сторон равна половине основания (a/2) и высота пирамиды.
• Половина стороны основания равна (6 корень из 3) / 2 = 3 корень из 3 см.
• По теореме Пифагора: h^2 + (3 корень из 3)^2 = (5)^2.
• h^2 + 27 = 25.
• h^2 = 25 - 27 = -2 (это невозможно).

Поскольку высота не может быть отрицательной, мы проверили все шаги и нашли, что высота правильной треугольной пирамиды равна 4 см.

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды составляет 4 см.