Какое расстояние от точки М, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон правильного треугольника со стороной 2√3 см и расстоянием до плоскости треугольника √3 см, до вершины этого треугольника?

Геометрия 8 класс Правильный треугольник и его свойства расстояние от точки М правильный треугольник вершина треугольника сторона треугольника геометрия 8 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что точка М, которая находится на одинаковом расстоянии от всех сторон правильного треугольника, является центром вписанной окружности треугольника. Давайте разберем шаги решения по порядку.

Шаг 1: Найдем высоту правильного треугольника.

Правильный треугольник со стороной a = 2√3 см имеет высоту, которая вычисляется по формуле:

h = (√3 / 2) * a

Подставим значение стороны:

h = (√3 / 2) * (2√3) = 3 см.

Шаг 2: Найдем координаты вершин треугольника.

Предположим, что вершины треугольника расположены в координатной плоскости следующим образом:

• A(0, 0)
• B(2√3, 0)
• C(√3, 3)

Шаг 3: Найдем координаты точки М.

Поскольку точка М является центром вписанной окружности, она находится на расстоянии r от всех сторон треугольника, где r – радиус вписанной окружности. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = (a * √3) / 6

Подставим значение стороны:

r = (2√3 * √3) / 6 = 1 см.

Так как дано, что расстояние от точки М до плоскости треугольника равно √3 см, это означает, что точка М находится на высоте √3 см от основания треугольника.

Шаг 4: Найдем расстояние от точки М до вершины треугольника.

Теперь нам нужно найти расстояние от точки М до одной из вершин треугольника, например, до вершины C(√3, 3).

Координаты точки М можно представить как (x_M, y_M, z_M), где:

• x_M = √3 (по оси X, так как М находится на оси симметрии)
• y_M = 1 (высота, так как мы знаем, что расстояние до плоскости треугольника равно √3 см)
• z_M = √3 (по оси Z, высота от основания треугольника)

Теперь мы можем найти расстояние между точками M(√3, 1, √3) и C(√3, 3, 0) с помощью формулы расстояния в трехмерном пространстве:

d = √((x_C - x_M)² + (y_C - y_M)² + (z_C - z_M)²)

Подставим значения:

• x_C = √3, x_M = √3
• y_C = 3, y_M = 1
• z_C = 0, z_M = √3

d = √((√3 - √3)² + (3 - 1)² + (0 - √3)²) = √(0 + 2² + (√3)²) = √(4 + 3) = √7.

Ответ:

Таким образом, расстояние от точки М до вершины треугольника равно √7 см.