Какова длина радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, и длина стороны этого треугольника, если точка К удалена от каждой стороны на 30 см и от плоскости на 18 см? Также, каково расстояние от точки М до плоскости прямоугольного треугольника, если она удалена от каждой стороны на 5 см, а катеты равны 9 и 12 см?

Геометрия 8 класс Вписанные и описанные окружности треугольников длина радиуса окружности правильный треугольник длина стороны треугольника точка К расстояние от точки М плоскость прямоугольного треугольника катеты 9 и 12 см Новый

Для решения задачи сначала разберем, как найти длину радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, и длину его стороны.

1. Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Площадь правильного треугольника можно выразить через длину стороны a:

• Площадь = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

2. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, можно найти по формуле:

• r = (P) / (3s),

где P — площадь треугольника, s — длина стороны треугольника. В нашем случае, если сторона равна a, то P = (a^2 * sqrt(3)) / 4 и s = a.

3. Подставляем значения в формулу для радиуса:

• r = ((a^2 * sqrt(3)) / 4) / (3a) = (a * sqrt(3)) / 12.

Теперь, если точка К удалена от каждой стороны на 30 см и от плоскости на 18 см, это означает, что радиус окружности равен 30 см, так как точка К — это центр окружности. Сравниваем:

• 30 = (a * sqrt(3)) / 12.

4. Умножаем обе стороны на 12:

• 360 = a * sqrt(3).

5. Теперь делим обе стороны на sqrt(3):

• a = 360 / sqrt(3) ≈ 207.85 см.

Таким образом, длина стороны правильного треугольника составляет примерно 207.85 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 30 см.

Теперь перейдем ко второй части задачи — расстояние от точки М до плоскости прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике с катетами 9 см и 12 см, можем найти его площадь:

• Площадь = (1/2) * 9 * 12 = 54 см².

2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:

• r = (a + b - c) / 2,

где a и b — катеты, а c — гипотенуза. Сначала найдем гипотенузу:

• c = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15 см.

3. Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

• r = (9 + 12 - 15) / 2 = 6 / 2 = 3 см.

4. Если точка М удалена от каждой стороны на 5 см, это значит, что расстояние от точки М до плоскости треугольника равно радиусу окружности, вписанной в треугольник, плюс 5 см:

• Расстояние от точки М до плоскости = 3 см + 5 см = 8 см.

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости прямоугольного треугольника составляет 8 см.