Какова величина угла между плоскостью MCD и плоскостью квадрата, если точка М равноудалена от всех сторон квадрата ABCD со стороной 8 см, а расстояние от М до плоскости квадрата составляет 4 см?

Геометрия 8 класс Углы между плоскостями угол плоскость MCD плоскость квадрата точка М равноудалена стороны квадрата ABCD сторона 8 см расстояние 4 см геометрия 8 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определим положение квадрата ABCD:

• Квадрат ABCD имеет стороны длиной 8 см.
• Предположим, что квадрат расположен в плоскости XY, где точки A, B, C и D имеют следующие координаты:
• A(0, 0, 0)
• B(8, 0, 0)
• C(8, 8, 0)
• D(0, 8, 0)

2. Найдем координаты точки M:

• Точка M равноудалена от всех сторон квадрата, значит, она находится в центре квадрата.
• Центр квадрата можно найти как среднее арифметическое координат его вершин:
• X = (0 + 8 + 8 + 0) / 4 = 4
• Y = (0 + 0 + 8 + 8) / 4 = 4
• Таким образом, координаты точки M будут (4, 4, z), где z - высота точки M над плоскостью квадрата.

3. Определим координату z:

• По условию задачи, расстояние от точки M до плоскости квадрата составляет 4 см.
• Следовательно, z = 4.
• Таким образом, точка M имеет координаты (4, 4, 4).

4. Определим плоскость MCD:

• Плоскость MCD проходит через точки M(4, 4, 4), C(8, 8, 0) и D(0, 8, 0).
• Для нахождения нормали к плоскости MCD, нам нужно найти два вектора, лежащих в этой плоскости:
• Вектор MC = C - M = (8, 8, 0) - (4, 4, 4) = (4, 4, -4)
• Вектор MD = D - M = (0, 8, 0) - (4, 4, 4) = (-4, 4, -4)
• Теперь мы можем найти векторное произведение MC и MD, чтобы получить нормаль к плоскости MCD.

5. Находим нормаль к плоскости MCD:

• Векторное произведение MC и MD:
• N = MC x MD = (4, 4, -4) x (-4, 4, -4).
• Вычисляем:
• N_x = 4 * (-4) - 4 * (-4) = -16 + 16 = 0
• N_y = -4 * (-4) - 4 * 4 = 16 - 16 = 0
• N_z = 4 * 4 - 4 * (-4) = 16 + 16 = 32
• Таким образом, нормаль к плоскости MCD: N(0, 0, 32).

6. Определяем угол между плоскостью MCD и плоскостью квадрата:

• Плоскость квадрата ABCD является горизонтальной, и ее нормаль направлена вверх (по оси Z), то есть N_quadrate(0, 0, 1).
• Угол между двумя плоскостями можно найти по формуле:
• cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|), где N1 и N2 - нормали к плоскостям.

7. Находим угол:

• Скалярное произведение N и N_quadrate: N • N_quadrate = 0 * 0 + 0 * 0 + 32 * 1 = 32.
• Длина векторов: |N| = sqrt(0^2 + 0^2 + 32^2) = 32, |N_quadrate| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1.
• Подставляем в формулу: cos(θ) = 32 / (32 * 1) = 1.
• Это означает, что угол θ = 0 градусов.

Итак, величина угла между плоскостью MCD и плоскостью квадрата ABCD составляет 0 градусов.