Для решения задачи давайте вспомним основные свойства подобия фигур и как они влияют на периметры и площади треугольников.

1. Определим отношение сторон.

• Пусть стороны треугольника ABC равны 3x, а стороны треугольника A₁B₁C₁ равны 2x, где x - некоторый положительный коэффициент.
• Согласно условию, стороны треугольников относятся как 3:2.

2. Найдем отношение периметров.

• Периметр равностороннего треугольника равен сумме длин всех его сторон.
• Периметр треугольника ABC будет равен 3x + 3x + 3x = 9x.
• Периметр треугольника A₁B₁C₁ будет равен 2x + 2x + 2x = 6x.
• Теперь найдем отношение периметров: P(ABC) : P(A₁B₁C₁) = 9x : 6x = 9 : 6 = 3 : 2.

3. Найдем отношение площадей.

• Площадь равностороннего треугольника можно выразить через квадрат длины его стороны. Формула площади S равностороннего треугольника со стороной a: S = (a^2 * √3) / 4.
• Площадь треугольника ABC будет равна S(ABC) = ((3x)^2 * √3) / 4 = (9x^2 * √3) / 4.
• Площадь треугольника A₁B₁C₁ будет равна S(A₁B₁C₁) = ((2x)^2 * √3) / 4 = (4x^2 * √3) / 4 = x^2 * √3.
• Теперь найдем отношение площадей: S(ABC) : S(A₁B₁C₁) = (9x^2 * √3) / 4 : (4x^2 * √3) / 4 = 9 : 4.

4. Подведем итоги.

• Отношение периметров треугольников ABC и A₁B₁C₁ равно 3:2.
• Отношение площадей треугольников ABC и A₁B₁C₁ равно 9:4.

Таким образом, мы нашли необходимые отношения для периметров и площадей равносторонних треугольников, используя свойства подобия.