Каково соотношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность?

Геометрия 8 класс Отношение площадей правильных шестиугольников, описанного и вписанного в окружность площадь правильного шестиугольника шестиугольник и окружность соотношение площадей шестиугольников геометрия 8 класс свойства правильного шестиугольника Новый

Чтобы найти соотношение площадей правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, давайте разберем оба случая поэтапно.

1. Правильный шестиугольник, вписанный в окружность:

• Обозначим радиус окружности, в которую вписан шестиугольник, как R.
• Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле: Площадь = (3√3 / 2) * R².
• Эта формула основана на том, что шестиугольник состоит из 6 равных равнобедренных треугольников, основание которых равно R, а высота равна (√3 / 2) * R.

2. Правильный шестиугольник, описанный около окружности:

• Обозначим радиус окружности, описанной около шестиугольника, как r.
• Для правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, радиус r равен половине длины стороны шестиугольника. Обозначим длину стороны шестиугольника как a.
• Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, можно вычислить по формуле: Площадь = (3√3 / 2) * a².
• Так как a = 2r, то можно выразить площадь через r: Площадь = (3√3 / 2) * (2r)² = 6√3 * r².
• Теперь мы можем выразить r через R, так как радиусы окружностей связаны: r = R / √3.
• Подставим r в формулу площади шестиугольника, описанного вокруг окружности: Площадь = 6√3 * (R / √3)² = 6√3 * (R² / 3) = 2√3 * R².

3. Соотношение площадей:

• Теперь у нас есть площади обоих шестиугольников:
• Площадь вписанного шестиугольника: (3√3 / 2) * R².
• Площадь описанного шестиугольника: 2√3 * R².
• Теперь найдем соотношение площадей: Соотношение = (Площадь описанного) / (Площадь вписанного) = (2√3 * R²) / ((3√3 / 2) * R²).
• Сократим R²: Соотношение = (2√3) / (3√3 / 2) = (2√3) * (2 / (3√3)) = 4 / 3.

Таким образом, соотношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, равно 4:3.