Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если медиана и высота, проведенные к гипотенузе, составляют 7,5 см и 7,2 см соответственно?

Геометрия 8 класс Медиана и высота в прямоугольном треугольнике длина катетов прямоугольный треугольник медиана высота гипотенуза геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, зная длины медианы и высоты, проведенных к гипотенузе, воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим катеты треугольника как a и b. Гипотенуза будет обозначаться как c.
2. Используем формулы для медианы и высоты. В прямоугольном треугольнике медиана m, проведенная к гипотенузе, рассчитывается по формуле:
   • m = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2)
   А высота h, проведенная к гипотенузе, рассчитывается по формуле:
   • h = (ab) / c
3. Подставим известные значения: m = 7,5 см и h = 7,2 см.
4. Сначала выразим c через a и b: из формулы для медианы можем выразить c:
   • c = sqrt(2a^2 + 2b^2 - 4m^2)
   Подставим m:
   • c = sqrt(2a^2 + 2b^2 - 4 * (7,5)^2)
   • c = sqrt(2a^2 + 2b^2 - 225)
5. Теперь воспользуемся формулой для высоты: h = (ab) / c.
• Подставим h и c:
• 7,2 = (ab) / sqrt(2a^2 + 2b^2 - 225)
6. Теперь у нас есть две уравнения:
• 1) c = sqrt(2a^2 + 2b^2 - 225)
• 2) 7,2 = (ab) / c
7. Решим эту систему уравнений. Подставим выражение для c из первого уравнения во второе уравнение:
• 7,2 = (ab) / sqrt(2a^2 + 2b^2 - 225)
8. Упростим это уравнение и выразим a и b. Это может потребовать дополнительных шагов и подстановок, чтобы найти конкретные значения для a и b.

В результате, после решения системы уравнений, мы получим длины катетов a и b. Вычисления могут быть довольно сложными, и вам может понадобиться использовать численные методы или графические решения для нахождения точных значений. Однако, если вы выполните все шаги аккуратно, вы сможете найти искомые катеты.