Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и высоты, проведенной из вершины прямого угла. Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C - прямой. Высота CH проведена из вершины C и делит гипотенузу AB на отрезки AD и DB, длины которых равны 5 см и 15 см соответственно.

Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, высота, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, произведение которых равно произведению катетов. В нашем случае:

• AD = 5 см
• DB = 15 см

Обозначим катеты треугольника как a и b, где a - меньший катет, а b - больший катет. По теореме о высоте имеем:

AD * DB = a * b

Подставим известные значения:

5 см * 15 см = a * b

Таким образом, мы получаем:

75 = a * b

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

AB = AD + DB = 5 см + 15 см = 20 см

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

AB^2 = a^2 + b^2

Подставим значение гипотенузы:

(20 см)^2 = a^2 + b^2

400 = a^2 + b^2

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a * b = 75
• 2) a^2 + b^2 = 400

Решим первую уравнение для b:

b = 75/a

Подставим это значение во второе уравнение:

a^2 + (75/a)^2 = 400

Умножим всё уравнение на a^2, чтобы избавиться от дробей:

a^4 - 400a^2 + 5625 = 0

Обозначим x = a^2. Получаем квадратное уравнение:

x^2 - 400x + 5625 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = (-400)^2 - 4 * 1 * 5625 = 160000 - 22500 = 137500

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

x1,2 = (400 ± √137500) / 2

Теперь вычислим √137500, что приблизительно равно 370.82:

x1,2 = (400 ± 370.82) / 2

Таким образом, получаем два значения:

• x1 ≈ 385.41
• x2 ≈ 14.59

Теперь вернемся к a:

a^2 = 14.59, следовательно, a ≈ √14.59 ≈ 3.82 см

Таким образом, длина меньшего катета прямоугольного треугольника составляет примерно 3.82 см.