Какой периметр четырехугольника ABCO, если отрезки AB и BC являются касательными к окружности с центром O радиуса 10 см, а угол ∠AOC равен 120º?

Геометрия 8 класс Касательные к окружности и периметр четырехугольника периметр четырёхугольника касательные к окружности угол AOC радиус окружности геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти периметр четырехугольника ABCO, начнем с анализа данной информации:

• Касательные к окружности из одной точки равны между собой.
• У нас есть угол ∠AOC, который равен 120º.
• Радиус окружности O равен 10 см.

Теперь обозначим длины отрезков:

• Длина отрезка AB обозначим как x.
• Длина отрезка BC также будет равна x, так как они касательные к окружности.

Теперь найдем длины отрезков AO и CO:

1. Длина AO равна радиусу окружности, то есть 10 см.
2. Длина CO также равна радиусу окружности, то есть 10 см.

Теперь мы можем выразить периметр четырехугольника ABCO:

Периметр P = AB + BC + AO + CO.

Подставим известные значения:

P = x + x + 10 + 10 = 2x + 20.

Теперь найдем длину x. Для этого используем свойства треугольника AOC:

• В треугольнике AOC угол AOC равен 120º, а AO и CO равны 10 см.
• Используем теорему косинусов для нахождения стороны AC:

Согласно теореме косинусов:

AC² = AO² + CO² - 2 * AO * CO * cos(∠AOC).

Подставим значения:

AC² = 10² + 10² - 2 * 10 * 10 * cos(120º).

Значение cos(120º) равно -0.5, поэтому:

AC² = 100 + 100 + 100 = 300.

Таким образом, AC = √300 = 10√3 см.

Теперь, используя свойства касательных, мы можем выразить x:

Поскольку AB и BC равны, и AC является их общей длиной, мы имеем:

2x = AC = 10√3.

Следовательно, x = 5√3 см.

Теперь подставим значение x в формулу для периметра:

P = 2(5√3) + 20 = 10√3 + 20 см.

Таким образом, периметр четырехугольника ABCO равен 10√3 + 20 см.