На стороне AC треугольника ABC отметили точку O так, что AB=AO. Известно, что внешний угол треугольника ABC при вершине A равен 160 градусов, а угол C составляет 40 градусов. Как можно доказать равенство отрезков BO и CO?

Геометрия 8 класс Геометрические свойства треугольников треугольник ABC точка O угол A угол C внешний угол равенство отрезков доказательство равенства геометрия 8 класс Новый

Для доказательства равенства отрезков BO и CO, начнем с анализа углов и свойств треугольника ABC.

1. Запишем известные углы:

• Угол A (внешний угол) равен 160 градусов.
• Угол C равен 40 градусов.

2. Найдем угол B:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, мы можем записать:

Угол A = Угол B + Угол C.

Подставим известные значения:

160 = Угол B + 40.

Теперь решим это уравнение:

Угол B = 160 - 40 = 120 градусов.

3. Теперь у нас есть все углы треугольника ABC:

• Угол A = 160 градусов.
• Угол B = 120 градусов.
• Угол C = 40 градусов.

4. Рассмотрим треугольник ABO:

Поскольку AB = AO, треугольник ABO является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны:

Угол OAB = Угол OBA.

5. Найдем углы OAB и OBA:

Угол AOB = 180 - Угол OAB - Угол OBA = 180 - 2 * Угол OAB.

Мы знаем, что угол A = 160 градусов, следовательно:

Угол AOB = 180 - 160 = 20 градусов.

Теперь мы можем записать:

180 - 2 * Угол OAB = 20.

Решим это уравнение:

2 * Угол OAB = 180 - 20 = 160.

Угол OAB = 80 градусов.

6. Теперь рассмотрим треугольник BOC:

В этом треугольнике мы знаем угол B = 120 градусов и угол C = 40 градусов. Найдем угол O:

Угол O = 180 - Угол B - Угол C = 180 - 120 - 40 = 20 градусов.

7. Теперь у нас есть:

• Угол OAB = 80 градусов.
• Угол OBA = 80 градусов.
• Угол OBC = 20 градусов.
• Угол O = 20 градусов.

8. Сравним треугольники ABO и BOC:

В треугольнике ABO у нас есть:

• AB = AO (по условию).
• Угол OAB = Угол OBA = 80 градусов.

В треугольнике BOC у нас есть:

• Угол OBC = 20 градусов.
• Угол O = 20 градусов.

9. Теперь мы можем использовать теорему о равенстве треугольников:

Треугольники ABO и BOC имеют равные углы и одну равную сторону (AB = AO). Следовательно, по критерию равенства треугольников (по двум углам и стороне) треугольники равны.

10. Таким образом:

BO = CO, что и требовалось доказать.

В результате, мы пришли к выводу, что отрезки BO и CO равны.