Решение:

1. Так как треугольник $PTK$ прямоугольный, то угол $K$ может быть равен либо $90°$, либо $180° - 90° = 90°$.

2. По теореме Пифагора: $KP^2 = PT^2 + KT^2$. Подставляя известные значения, получаем:

$KP^2 = (7 \sqrt{3})^2 + 7^2$

$KP = \sqrt{(49 * 3) + 49}$

$KP = \sqrt{145}$

3. Найдём косинус угла $K$, используя формулу: $cos(K) = \frac{KT}{KP}$. Подставляя значения, получаем:

$cos(K) = \frac{7}{\sqrt{145}}$

4. Угол $K$ не может быть прямым, так как тогда гипотенуза $KP$ была бы равна катету $KT$, что невозможно по условию задачи. Значит, угол $K$ острый.

5. Для нахождения угла $K$ можно использовать тригонометрические таблицы или калькулятор. Получаем:

cos(K) ≈ 0,6325, значит, угол K ≈ 50°.

Ответ: угол K ≈ 50°, гипотенуза KP ≈ $\sqrt{145}$.

Объяснение:

В прямоугольном треугольнике PTK угол T равен 90°. Катеты PT и KT известны. Требуется найти угол K, гипотенузу KP, а также применить теорему Пифагора для нахождения гипотенузы.

Для нахождения угла K используется формула косинуса угла прямоугольного треугольника. Косинус острого угла всегда положителен, поэтому угол K не может быть тупым.

Гипотенуза KP находится с помощью теоремы Пифагора. Затем вычисляется косинус угла K.

Полученное значение косинуса позволяет определить угол K с помощью таблиц или калькулятора.