Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB является основанием, а CH - высота, опущенная из вершины C на основание AB.

1. Найдем длину основания AB.

• Периметр треугольника ABC равен 42 см.
• Поскольку треугольник равнобедренный, обозначим длины сторон AC и BC как x.
• Тогда можно записать уравнение для периметра: 2x + AB = 42.

2. Найдем длину высоты CH.

• Высота CH делит основание AB на два равных отрезка, так как треугольник равнобедренный.
• Обозначим длину отрезка AH как a. Тогда длина отрезка BH также равна a, и AB = 2a.

3. Используем теорему Пифагора.

• В треугольнике ACH у нас есть прямой угол при точке H.
• По теореме Пифагора: AC^2 = AH^2 + CH^2.
• Подставим известные значения: x^2 = a^2 + 15^2.
• Таким образом, x^2 = a^2 + 225.

4. Подставим значение AB в уравнение периметра.

• Из уравнения периметра: 2x + 2a = 42.
• Упростим это уравнение: x + a = 21.
• Теперь выразим a: a = 21 - x.

5. Подставим a в уравнение Пифагора.

• Теперь у нас есть: x^2 = (21 - x)^2 + 225.
• Раскроем скобки: x^2 = 441 - 42x + x^2 + 225.
• Упростим: 0 = 441 - 42x + 225.
• Сложим числа: 0 = 666 - 42x.
• Переносим 42x: 42x = 666.
• Находим x: x = 666 / 42 = 15.857 см (примерно).

6. Теперь найдем a.

• Подставим x в уравнение для a: a = 21 - 15.857 = 5.143 см (примерно).

7. Теперь найдем периметр треугольника ACH.

• Периметр треугольника ACH равен AC + AH + CH.
• AC = x = 15.857 см, AH = a = 5.143 см, CH = 15 см.
• Периметр ACH = 15.857 + 5.143 + 15 = 36 см (примерно).

Ответ: Периметр треугольника ACH составляет примерно 36 см.