Помогите, пожалуйста, докажите, что четырехугольник с вершинами E (-2; 0), F (2; 2), M (4; -2) и N (0; -4) является квадратом.

Геометрия 8 класс Геометрия четырехугольников четырехугольник EFMN доказательство квадрата координаты вершин геометрия 8 класс свойства квадрата Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник с вершинами E (-2; 0), F (2; 2), M (4; -2) и N (0; -4) является квадратом, нам нужно проверить несколько условий. Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и углы равны 90 градусов. Мы будем следовать следующим шагам:

1. Найдем длины всех сторон.

   Длину отрезка можно найти по формуле:

   d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

   Теперь найдем длины сторон EF, FM, MN и NE:

   • Длина EF:

   d(EF) = √((2 - (-2))² + (2 - 0)²) = √((2 + 2)² + 2²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

   • Длина FM:

   d(FM) = √((4 - 2)² + (-2 - 2)²) = √(2² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

   • Длина MN:

   d(MN) = √((0 - 4)² + (-4 - (-2))²) = √((-4)² + (-2)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

   • Длина NE:

   d(NE) = √((-2 - 0)² + (0 - (-4))²) = √((-2)² + (4)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

2. Проверим, равны ли все стороны.

   Мы нашли, что:

   • EF = 2√5
   • FM = 2√5
   • MN = 2√5
   • NE = 2√5

   Все стороны равны, что является одним из условий для квадрата.

3. Проверим углы между сторонами.

   Для этого мы можем использовать скалярное произведение векторов. Найдем векторы EF, FM, MN и NE:

   • Вектор EF = (2 - (-2), 2 - 0) = (4, 2)
   • Вектор FM = (4 - 2, -2 - 2) = (2, -4)
   • Вектор MN = (0 - 4, -4 - (-2)) = (-4, -2)
   • Вектор NE = (-2 - 0, 0 - (-4)) = (-2, 4)

   Теперь найдем скалярные произведения векторов:

   • EF и FM: (4 * 2) + (2 * -4) = 8 - 8 = 0 (угол 90 градусов)
   • FM и MN: (2 * -4) + (-4 * -2) = -8 + 8 = 0 (угол 90 градусов)
   • MN и NE: (-4 * -2) + (-2 * 4) = 8 - 8 = 0 (угол 90 градусов)
   • NE и EF: (-2 * 4) + (4 * 2) = -8 + 8 = 0 (угол 90 градусов)

   Все углы между соседними сторонами равны 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник с вершинами E, F, M и N является квадратом, так как все стороны равны и все углы равны 90 градусов.