1.1

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Проверим, выполняется ли это условие для сторон треугольника со сторонами 5, 6 и 7:

$7^2 = 5^2 + 6^2$

$49 = 25 + 36$

$49 = 61$ — неверно.

Значит, треугольник со сторонами 5, 6 и 7 не является прямоугольным.

1.2

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон треугольника со сторонами 10, 24 и 26:

$26^2 = 10^2 + 24^2$

$676 = 100 + 576$

$676 = 676$ — верно.

Значит, треугольник со сторонами 10, 24 и 26 является прямоугольным.

2

Для нахождения меньшей высоты треугольника воспользуемся формулой площади треугольника:

$S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание треугольника, $h$ — высота, опущенная на это основание.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника, $a$, $b$ и $c$ — его стороны.

Найдём площадь треугольника со сторонами 15 см, 17 см и 8 см:

$p = \frac{15 + 17 + 8}{2} = 13$

$S = \sqrt{13(13 - 15)(13 - 17)(13 - 8)} = \sqrt{13 \cdot (-2) \cdot (-4) \cdot 5} = \sqrt{130}$

Теперь найдём высоту, опущенную на основание, равное 8 см:

$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot \sqrt{130}}{8} = \frac{\sqrt{130}}{4}$

Значит, меньшая высота треугольника равна $\frac{\sqrt{130}}{4}$.