Для нахождения длины отрезка EF, который является основанием трапеции, нам необходимо использовать некоторые свойства трапеции и пропорции. Давайте разберем решение по шагам.

1. Определим длины отрезков CF и DF. Из условия задачи известно, что отношение CF к DF равно 5:4. Это значит, что можно выразить CF и DF через одну переменную. Обозначим DF = 4x, тогда CF = 5x.
2. Найдем длину отрезка CD. Так как CD = CF + DF, то подставим наши выражения:
   • CD = CF + DF = 5x + 4x = 9x.
3. Используем данные о длинах AD и BC. Мы знаем, что AD = 45 и BC = 27. Поскольку прямые EF и AB параллельны, то мы можем использовать теорему о пропорциональности отрезков, которая гласит, что отношение отрезков, отсекаемых параллельной прямой, равно отношению оснований трапеции.
   • Отношение AB к CD будет равно отношению AD к EF.
4. Запишем пропорцию:
   • AD / EF = BC / CD.
   • Подставим известные значения: 45 / EF = 27 / 9x.
5. Решим пропорцию:
   • 45 / EF = 27 / 9x.
   • Умножим крест-накрест: 45 * 9x = 27 * EF.
   • 405x = 27EF.
   • EF = 405x / 27.
   • Сократим: EF = 15x.
6. Найдем значение x. Мы знаем, что CD = 9x, и можем выразить x через CD:
   • CD = CF + DF = 9x = 9x.
   • Так как CD = 9x, а у нас есть длина CD, то 9x = 9x, что верно.
7. Теперь подставим значение x, чтобы найти EF:
   • Мы можем выразить x через длину CD. Если CD = 9x и мы знаем, что CF + DF = 5x + 4x = 9x, то x = CD / 9.
   • Таким образом, x = CD / 9 = 9x / 9 = 1.
8. Теперь подставляем x в EF:
   • EF = 15x = 15 * 1 = 15.

Таким образом, длина отрезка EF равна 15. Это и есть ответ на задачу.