Радиусы двух окружностей с общим центром имеют отношение 3:5. Хорда большей окружности касается меньшей и равна 16 см. Как можно определить радиусы этих окружностей?

Геометрия 8 класс Отношение радиусов окружностей геометрия радиусы окружностей отношение радиусов хорда окружности задача по геометрии общие центры окружностей нахождение радиусов касающаяся хорда решение задачи окружности с общим центром Новый

Для решения этой задачи начнем с обозначения радиусов окружностей. Пусть радиус меньшей окружности равен 3x, а радиус большей окружности равен 5x, где x - некоторое положительное число.

Теперь, поскольку хорда большей окружности касается меньшей, мы можем использовать свойства касательных и радиусов. Хорда, которая касается окружности, делит радиус, проведенный к точке касания, пополам.

Обозначим центр окружностей как O, а точку касания как A. Хорда будет иметь концы B и C. Таким образом, мы имеем:

• OA - радиус меньшей окружности, равный 3x;
• OB и OC - радиусы большей окружности, равные 5x.
• AB и AC - отрезки на хорде, которые равны 8 см (половина хорды, так как BC = 16 см).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику OAB:

OA² + AB² = OB².

Подставим известные значения:

(3x)² + (8)² = (5x)².

Теперь упростим уравнение:

9x² + 64 = 25x².

Переносим все члены на одну сторону:

25x² - 9x² - 64 = 0.

16x² - 64 = 0.

Теперь решим это уравнение:

16x² = 64.

x² = 4.

x = 2 (так как радиус не может быть отрицательным).

Теперь подставим значение x, чтобы найти радиусы окружностей:

• Радиус меньшей окружности: 3x = 3 * 2 = 6 см;
• Радиус большей окружности: 5x = 5 * 2 = 10 см.

Таким образом, радиусы окружностей равны:

• Меньшая окружность: 6 см;
• Большая окружность: 10 см.