Чтобы найти радиусы описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC, давайте сначала вспомним некоторые свойства и формулы, которые нам понадобятся.

В равнобедренном треугольнике ABC, где BH - высота, проведенная из вершины B на основание AC, мы можем использовать теорему Пифагора. Высота BH делит основание AC пополам, поэтому:

• AH = HC = AC / 2 = 12 см / 2 = 6 см.

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике ABH:

• AB^2 = AH^2 + BH^2.
• AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.
• AB = √100 = 10 см.

Таким образом, длина боковых сторон AB и BC равна 10 см.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

• Площадь = (основание * высота) / 2.

Подставим известные значения:

• Площадь = (AC * BH) / 2 = (12 см * 8 см) / 2 = 48 см².

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

• r = S / p,

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр. Сначала найдем полупериметр:

• p = (AB + AC + BC) / 2 = (10 см + 12 см + 10 см) / 2 = 16 см.

Теперь подставим значения в формулу:

• r = 48 см² / 16 см = 3 см.

Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

• R = (abc) / (4S),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - площадь. Подставим известные значения:

• a = 10 см, b = 10 см, c = 12 см, S = 48 см².
• R = (10 см * 10 см * 12 см) / (4 * 48 см²) = 1200 см³ / 192 см² = 6.25 см.

• Радиус вписанной окружности (r) = 3 см.
• Радиус описанной окружности (R) = 6.25 см.