Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Как найти диагональ призмы, площадь боковой поверхности призмы и угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани?

Геометрия 8 класс Правильные призмы и их свойства правильная четырехугольная призма сторона основания диагональ призмы угол 45 градусов плоскость основания найти диагональ призмы площадь боковой поверхности угол между диагональю и плоскостью боковой грани геометрия 8 класс задачи по геометрии формулы для призмы свойства призмы Новый

Давайте разберем задачу по шагам. Мы имеем правильную четырехугольную призму, у которой сторона основания равна a, и диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Нам нужно найти следующие параметры:

• Диагональ призмы
• Площадь боковой поверхности призмы
• Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани

1. Находим диагональ призмы:

Для начала определим высоту призмы. Обозначим высоту призмы как h. Поскольку диагональ призмы образует угол 45 градусов с плоскостью основания, можно использовать тригонометрию. В этом случае, если мы проведем вертикальную линию от вершины до основания, мы получим прямоугольный треугольник, где:

• Одна катета = h (высота призмы)
• Вторая катета = диагональ основания (d) = a√2 (так как основание является квадратом)

Используя соотношение для угла 45 градусов:

tan(45) = h / d = 1, что означает, что h = d.

Таким образом, мы можем выразить высоту призмы:

h = a√2.

Теперь находим диагональ призмы (D):

D = √(d² + h²) = √((a√2)² + (a√2)²) = √(2a² + 2a²) = √(4a²) = 2a.

2. Находим площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности (Sб) правильной четырехугольной призмы можно вычислить по формуле:

Sб = периметр основания * высота.

Периметр основания (P) = 4a (так как основание — квадрат).

Следовательно:

Sб = P * h = 4a * h = 4a * (a√2) = 4a²√2.

3. Находим угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани:

Чтобы найти угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани, мы можем использовать аналогичные методы, как и ранее. Здесь мы также имеем прямоугольный треугольник, где:

• Одна катета = высота (h)
• Вторая катета = сторона основания (a)

Используя тангенс угла (φ) между диагональю и боковой гранью:

tan(φ) = h / a.

Подставляем h = a√2:

tan(φ) = (a√2) / a = √2.

Следовательно, угол φ = arctan(√2), что равно 45 градусов.

Итак, подведем итоги:

• Диагональ призмы: D = 2a.
• Площадь боковой поверхности призмы: Sб = 4a²√2.
• Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани: φ = 45 градусов.