Стороны AB и BC выпуклого четырёхугольника ABCD равны и взаимно перпендикулярны. Какова длина диагонали AC, если угол BAD равен 105 градусов, угол BCD равен 135 градусов, а длина стороны AD составляет 8 см?

Геометрия 8 класс Диагонали и стороны выпуклого четырёхугольника четырехугольник ABCD стороны AB BC диагональ AC угол BAD угол BCD длина стороны AD геометрия 8 класс вычисление диагонали выпуклый четырёхугольник взаимно перпендикулярные стороны Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных о четырехугольнике ABCD. У нас есть следующие условия:

• Стороны AB и BC равны и взаимно перпендикулярны.
• Угол BAD равен 105 градусов.
• Угол BCD равен 135 градусов.
• Длина стороны AD составляет 8 см.

Обозначим длину сторон AB и BC как x. Поскольку AB и BC перпендикулярны, мы можем представить их как стороны прямоугольного треугольника ABC. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали AC.

Сначала найдем угол ABC. Поскольку угол BAD равен 105 градусов, то угол ABC будет равен:

угол ABC = 180 - угол BAD = 180 - 105 = 75 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике ABC:

• Синус угла ABC равен отношению противолежащей стороны (AB) к гипотенузе (AC).
• Синус угла ACB равен отношению противолежащей стороны (BC) к гипотенузе (AC).

Поскольку AB = BC = x, мы можем записать:

• sin(ABC) = AB / AC = x / AC
• sin(ACB) = BC / AC = x / AC

Теперь найдем угол ACB. Поскольку сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, мы можем найти угол ACB:

угол ACB = 180 - угол ABC - угол BAD = 180 - 75 - 105 = 0 градусов.

Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником, где угол ACB равен 90 градусов. Теперь можем использовать теорему Пифагора:

По теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Так как AB = BC = x, мы можем записать:

AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2.

Теперь нам нужно найти x. У нас есть сторона AD, которая равна 8 см. Мы можем использовать угол BCD для нахождения длины стороны CD. Поскольку угол BCD равен 135 градусов, то:

Сторона CD может быть найдена через сторону AD и угол BCD:

CD = AD sin(135) = 8 sin(135) = 8 * (sqrt(2)/2) = 4sqrt(2) см.

Теперь, зная CD и угол ABC, мы можем найти x:

Используем теорему о тангенсе:

tan(ABC) = BC / AB = x / x = 1, поэтому x = 8 см.

Теперь подставим значение x в формулу для AC:

AC^2 = 2 (8^2) = 2 64 = 128.

Теперь находим AC:

AC = sqrt(128) = 8sqrt(2) см.

Таким образом, длина диагонали AC равна 8sqrt(2) см, что примерно равно 11.31 см.