Для того чтобы найти отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, начнем с обозначения длины стороны этих фигур как a.

Теперь, давайте вычислим площади каждой из фигур по отдельности:

• Площадь правильного треугольника: Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:
• P = (a² * √3) / 4
• Площадь квадрата: Площадь квадрата вычисляется по формуле:
• P = a²
• Площадь правильного шестиугольника: Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
• P = (3 * √3 * a²) / 2

Теперь, имея все площади, мы можем вычислить их отношение.

Итак, давайте найдем отношение площадей:

1. Площадь правильного треугольника: (a² * √3) / 4
2. Площадь квадрата: a²
3. Площадь правильного шестиугольника: (3 * √3 * a²) / 2

Теперь выразим отношение площадей:

• Отношение площадей правильного треугольника к квадрату: ((a² * √3) / 4) : a² = (√3 / 4) : 1
• Отношение площадей квадрата к правильному шестиугольнику: a² : ((3 * √3 * a²) / 2) = 1 : (3 * √3 / 2)
• Отношение площадей правильного треугольника к правильному шестиугольнику: ((a² * √3) / 4) : ((3 * √3 * a²) / 2) = (√3 / 4) : (3 * √3 / 2)

Таким образом, окончательно, мы можем записать отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника как:

1 : 4 : 6√3

Это и есть искомое отношение площадей этих фигур.