Три вершины прямоугольника расположены в точках (-1;6), (3;6) и (3;-2). В каких координатах стороны этого прямоугольника пересекаются с окружностью, заданной уравнением (х+1)²+(у-2)²=25?

Геометрия 8 класс Пересечение окружности и прямоугольника прямоугольник координаты окружность пересечение уравнение геометрия точки вершины стороны задача Новый

Чтобы найти координаты точек пересечения сторон прямоугольника с окружностью, сначала определим координаты всех четырех вершин прямоугольника. У нас уже есть три вершины:

• A(-1, 6)
• B(3, 6)
• C(3, -2)

Четвертая вершина D будет находиться на пересечении вертикали, проходящей через A и C, и горизонтали, проходящей через B и A. Таким образом, координаты точки D будут (-1, -2).

Теперь у нас есть все четыре вершины прямоугольника:

• A(-1, 6)
• B(3, 6)
• C(3, -2)
• D(-1, -2)

Следующим шагом будет определение уравнений сторон прямоугольника:

• Сторона AB (горизонтальная): y = 6
• Сторона BC (вертикальная): x = 3
• Сторона CD (горизонтальная): y = -2
• Сторона DA (вертикальная): x = -1

Теперь у нас есть уравнения сторон, и мы можем найти точки пересечения с окружностью, заданной уравнением (x + 1)² + (y - 2)² = 25. Это уравнение окружности с центром в точке (-1, 2) и радиусом 5.

Теперь мы будем подставлять уравнения сторон в уравнение окружности:

1. Сторона AB (y = 6):

Подставляем y = 6 в уравнение окружности:

(x + 1)² + (6 - 2)² = 25

Упрощаем:

(x + 1)² + 16 = 25

Далее:

(x + 1)² = 9

Находим x:

x + 1 = 3 или x + 1 = -3

Получаем:

x = 2 или x = -4

Таким образом, точки пересечения с окружностью:

• (2, 6)
• (-4, 6)
2. Сторона BC (x = 3):

Подставляем x = 3 в уравнение окружности:

(3 + 1)² + (y - 2)² = 25

Упрощаем:

16 + (y - 2)² = 25

Далее:

(y - 2)² = 9

Находим y:

y - 2 = 3 или y - 2 = -3

Получаем:

y = 5 или y = -1

Таким образом, точки пересечения с окружностью:

• (3, 5)
• (3, -1)
3. Сторона CD (y = -2):

Подставляем y = -2 в уравнение окружности:

(x + 1)² + (-2 - 2)² = 25

Упрощаем:

(x + 1)² + 16 = 25

Далее:

(x + 1)² = 9

Находим x:

x + 1 = 3 или x + 1 = -3

Получаем:

x = 2 или x = -4

Таким образом, точки пересечения с окружностью:

• (2, -2)
• (-4, -2)
4. Сторона DA (x = -1):

Подставляем x = -1 в уравнение окружности:

(-1 + 1)² + (y - 2)² = 25

Упрощаем:

0 + (y - 2)² = 25

Далее:

(y - 2)² = 25

Находим y:

y - 2 = 5 или y - 2 = -5

Получаем:

y = 7 или y = -3

Таким образом, точки пересечения с окружностью:

• (-1, 7)
• (-1, -3)

Теперь мы можем подвести итоги. Точки пересечения сторон прямоугольника с окружностью:

• (2, 6) и (-4, 6) - сторона AB
• (3, 5) и (3, -1) - сторона BC
• (2, -2) и (-4, -2) - сторона CD
• (-1, 7) и (-1, -3) - сторона DA

Таким образом, мы нашли все точки пересечения сторон прямоугольника с окружностью.