Угол ABC является прямым, где AB=4 и BC=3. Какое расстояние от точки B до точки K, которая находится на биссектрисе прямого угла и равноудалена от точек A и C?

Геометрия 8 класс Биссектрисы углов и расстояния до точек угол ABC прямой угол биссектрисa расстояние от точки B точки A и C геометрия 8 класс Новый

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

У нас есть угол ABC, который является прямым, то есть угол ABC равен 90 градусам. Даны следующие длины:

• Длина отрезка AB = 4
• Длина отрезка BC = 3

Нам нужно найти расстояние от точки B до точки K, которая находится на биссектрисе угла ABC и равноудалена от точек A и C.

Сначала давайте определим координаты точек A, B и C:

• Пусть точка B находится в начале координат: B(0, 0).
• Точка A будет находиться на оси Y, так как AB вертикален. Таким образом, A(0, 4).
• Точка C будет находиться на оси X, так как BC горизонтален. Таким образом, C(3, 0).

Теперь, чтобы найти точку K, которая равноудалена от A и C, мы можем использовать формулу расстояния. Поскольку K равноудалена от A и C, это означает, что расстояние от K до A равно расстоянию от K до C.

Пусть K имеет координаты (x, y). Тогда:

• Расстояние от K до A: d(K, A) = sqrt((x - 0)² + (y - 4)²) = sqrt(x² + (y - 4)²).
• Расстояние от K до C: d(K, C) = sqrt((x - 3)² + (y - 0)²) = sqrt((x - 3)² + y²).

Так как d(K, A) = d(K, C), мы можем приравнять эти два выражения:

sqrt(x² + (y - 4)²) = sqrt((x - 3)² + y²).

Теперь, чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат:

x² + (y - 4)² = (x - 3)² + y².

Раскроем скобки:

• x² + (y² - 8y + 16) = (x² - 6x + 9) + y².

Упрощаем уравнение:

• y² + x² - 8y + 16 = x² - 6x + 9 + y².
• Упрощаем: -8y + 16 = -6x + 9.
• Переносим все в одну сторону: 6x - 8y + 7 = 0.

Теперь мы нашли уравнение линии, на которой находится точка K. Поскольку K находится на биссектрисе угла ABC, мы знаем, что угол ABC равен 90 градусам, и биссектрисы прямого угла имеют углы 45 градусов к обеим сторонам.

Уравнение биссектрисы угла ABC (в данном случае) можно записать как y = x, так как она проходит через точку B(0, 0).

Теперь мы можем решить систему уравнений:

• 6x - 8y + 7 = 0
• y = x

Подставим y = x в первое уравнение:

6x - 8x + 7 = 0.

Упрощаем:

-2x + 7 = 0.

Отсюда x = 7/2 = 3.5, и так как y = x, то y также равно 3.5.

Таким образом, координаты точки K: K(3.5, 3.5).

Теперь мы можем найти расстояние от точки B(0, 0) до точки K(3.5, 3.5) с помощью формулы расстояния:

d(B, K) = sqrt((3.5 - 0)² + (3.5 - 0)²) = sqrt(3.5² + 3.5²) = sqrt(12.25 + 12.25) = sqrt(24.5).

Расстояние от точки B до точки K равно sqrt(24.5), что приблизительно равно 4.95.

Ответ: Расстояние от точки B до точки K составляет примерно 4.95 единиц.